Analizziamo materialmente come si può risolvere un'equazione di primo grado.
Utilizziamo un esempio e consideriamo l'equazione 2x meno 4 uguale 8.
Per risolverla devo ottenere x come soluzione.
Bisogna lasciare i termini di x al primo membro
e portare tutti quelli dove non è presente l'incognita al secondo membro.
e in questo caso l'unica cosa da fare è spostare il meno 4.
Applicando il primo principio di equivalenza il meno 4 può saltare l'uguale
ma deve cambiare di segno
oppure si può applicare in maniera più formale
sommando ad ambo i membri l'opposto di meno 4 ovvero più 4.
e si avrà 2x meno 4 più 4 che corrisponde a 8 più 4
perché questi due si elidono e resta 2x uguale a 12.
Per eliminare il 2 dalla x
utilizzo il secondo principio di equivalenza
secondo cui posso moltiplicare e dividere per la stessa quantità,
ma in questo caso mi conviene moltiplicare ambo i membri per un mezzo
che equivale a dividere per due,
quindi un mezzo per 2x è uguale a un mezzo per 12
e semplificando ottengo x al primo membro e 6 al secondo.
x uguale a 6 è la soluzione dell'equazione 2x meno 4 uguale a 8.
Per verificare la correttezza della soluzione
basterà sostituire 6 alla x nell'equazione data
e si otterrà un'identità.
La cosa si verifica se si sostituisce 6 al posto della x
perché ottengo 8 uguale 8 per cui,
essendosi verificata l'identità,
x uguale 6 è la soluzione corretta delle equazioni di primo grado prese in considerazione.
Posso esserci,
come in italiano e in tutti i linguaggi,
frasi vere e frasi false.
Come espresso precedentemente, le equazioni sono delle frasi matematiche per esprimere delle cose.
Si definisce equazione possibile quando afferma un fatto vero
e in questo caso la soluzione sarà un numero.
Un esempio è dato dall'equazione x più 4 uguale a 2x
poiché, risolvendola, otteniamo x uguale 4.
Si definisce equazione impossibile quando afferma un fatto falso
e in questo caso ottengo che 0 è uguale a un numero.
Nell'esempio x più 3 uguale a x, risolvendo l'equazione,
ottengo 0 uguale a meno 3.
Infine si definisce equazione indeterminata
una frase che afferma un fatto vero ma che si adatta ad infiniti numeri.
ottenendo l'identità 0 = 0.
Sì consideri l'equazione x più 5 uguale a x più 5,
qualsiasi numero si sostituisca l'equazione è verificata.
Risolvendola attraverso i metodi risolutivi che conosciamo,
otteniamo esattamente 0 uguale a 0.