Osserviamo due principi di equivalenza che sono fondamentali nella risoluzione delle equazioni
di primo grado ma anche di grado superiore.
Il primo principio di equivalenza delle equazioni afferma che:
aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri di un'equazione una stessa quantità,
l'equazione resta equivalente a quella data.
Prendiamo ad esempio l'equazione 3x meno 6 uguale a 0:
se aggiungo ad ambo i membri il valore più 6
ottengo 3x meno 6 più 6 uguale a più 6.
Il risultato sarà 3x uguale a 6 perché meno 6 e più 6 si elidono.
L'equazione ottenuta è equivalente a quella di partenza.
Quanto detto equivale a dire che in un'equazione
posso trasportare un valore da un membro all'altro cambiandolo di segno.
Dire che l'equazione resta equivalente alla data
non significa die che resta la stessa equazione,
ma che ha la stessa soluzione.
Infatti se consideriamo nell'esempio precedente 3x meno 6 uguale a 0,
leggendola come frase matematica,
significa che dal triplo del numero x se sottraggo 6 devo ottenere 0,
mentre se interpreto l'equazione equivalente, 3x uguale a 6
significa che il triplo del valore x è 6.
Le due equazioni, pur essendo equivalenti, non sono la stessa equazione.
In caso di equazioni con un numero elevato di termini,
il primo principio di equivalenza è di non facile applicazione.
Al suo posto è possibile utilizzare una regola,
che sintetizza quanto detto precedentemente,
e la possiamo utilizzare in modo informale.
(in quanto non è una definizione rigida e formale).
Questa regola afferma che:
è possibile trasportare un termine da una parte all'altra dell'uguale,
Ma l'elemento che "salta" l'uguale deve cambiare di segno.
Passiamo al secondo principio di equivalenza
anch'esso molto importante per la risoluzione delle equazioni.
Il secondo principio di equivalenza sostiene che:
moltiplicando o dividendo sempre entrambi i membri di un'equazione
per una stessa quantità diversa da 0,
(in questo caso è importante perché parliamo di prodotto)
l'equazione resta equivalente a quella data.
Se ad esempio considero l'equazione 3x uguale a 6
e divido ambo i membri per 3 ottengo che
3x su 3 è uguale a 6 fratto 3
che da come risultato x uguale a 2.
In questo caso ho trovato anche il valore della x.
Il secondo principio è utile da usare quando ci sono equazioni con i denominatori numerici,
ovvero quando abbiamo equazioni fratte.
Dopo aver fatto il minimo comune multiplo (mcm) fra entrambi i membri,
possiamo eliminare i denominatori utilizzando il secondo principio di equivalenza
e moltiplicare entrambi i membri dell'equazione per il minimo comune multiplo.
Facciamo un esempio per comprendere meglio.
Considerata l'equazione x mezzi uguale a un terzo,
facendo il minimo comune multiplo tra i denominatori
esso sarà 6 (risultato di 2 per 3)
e l'equazione 3x fratto 6 uguale a 2 fratto 6.
Utilizzando il secondo principio di equivalenza (moltiplicando ambo i membri per 6)
otterrò 3x uguale a 2 eliminando il denominatore
moltiplicando sia il primo membro che il secondo per 6.
In questo caso mi sarà di facile risoluzione trovare la x pari a 2 terzi.