Estenderemo ora i concetti proposti durante questa lezione
ad un esercizio che incontreremo spesso in letteratura.
Si tratta di una struttura generica a telaio
ABGC costituita da sistemi a travi rigide
con un vincolo pattino in A,
una cerniera interna B,
un pendolo semplice in C
ed un pendolo semplice DE che agisce sulla struttura.
Su di essa agisce inoltre un carico esterno
uniformemente distribuito
operante lungo il tratto BG.
Una struttura rappresentata in tal modo
può essere immaginata distinta in due tratti:
un tratto chiamato 1, ovvero il tratto AB,
ed un secondo tratto BGC.
Il tratto DE viene tenuto in considerazione come vincolo,
come pendolo esterno.
E' facile determinare l'equilibrio di uno di questi tratti,
del tratto I o del tratto II,
mentre invece non è possibile determinare le rette d'azione
delle reazioni vincolari in maniera istantanea.
E' necessario effettuare una serie di ragionamenti
e considerare l'equilibrio della struttura
sia da un punto di vista interno, sia da un punto di vista esterno.
Il carico distribuito Q che agisce sulla struttura BG
è rappresentabile attraverso una forza concentrata qL
applicata nel punto medio del tratto BG,
ovvero sul tratto sul quale agisce il carico uniformemente distribuito.
Ragionando sul primo tratto,
il vincolo in A è un vincolo tale
per cui la reazione che esplica in maniera lineare e non rotazionale
è una reazione che agisce in direzione ortogonale
rispetto al piano di scorrimento.
Il tratto subisce una reazione di tipo
normale rispetto al piano di scorrimento,
ma subirà anche una reazione di tipo rotazionale
poiché impedisce la rotazione del punto A.
Affinché tali forze siano in equilibrio
(carico esterno qL e la reazione RA)
la retta d'azione del vincolo RA
dovrà passare per il punto d'intersezione
tra la risultante del carico esterno
e la retta d'azione, univocamente determinata, relativa al pendolo in C.
La reazione RA dovrà incontrare il punto d'intersezione.
Se la retta d'azione in A deve avere la direzione indicata in figura,
allora sarà necessario rappresentarla
passante per il punto d'intersezione e traslata.
Il sistema così fatto è equivalente
ed RA risulta essere in equilibrio sia con qL,
il carico esterno, sia con la reazione nel punto C.
Per tale sistema può essere utile definire
che traslando la reazione RA nel punto A
e aggiungendo la coppia di trasporto,
si stabilisce una condizione d'equilibrio.
Conoscendo le reazioni nel punto A e nel punto C,
è possibile determinare le reazioni nel punto B
e le reazioni del pendolo esterno DE.
In che modo? Seguendo il ragionamento di equilibrio del sistema generato
per cui la reazione in B è una reazione vincolare
con rette di azione parallele a quelle derivanti
dalla presenza della retta di azione nel vincolo C.
I vincoli sul pendolo DE sono invece
individuati dalle reazioni che si sviluppano lungo la retta d'azione
univocamente determinata, pari alla direzione del pendolo.
Questo sistema si inserisce in un sistema di equilibrio generale.
Determinate queste reazioni
è possibile tracciare il diagramma del momento.
Tale diagramma si traccia partendo dal punto A;
in virtù del fatto che in A il momento non è nullo
ma è dovuto alla presenza della coppia reattiva del pattino,
graficamente il valore si determina
prolungando la retta d'azione in A fino all'asse del tratto AB
e, a partire dal punto individuato
(punto in cui il momento è nullo per l'equilibrio)
si genera un valore del momento
ad opera delle fibre tese.
Il diagramma del momento in questo caso si troverà sulla sinistra
fino ad incontrare un valore massimo di momento
dato dalla presenza della forza applicata in corrispondenza del punto D.
L'unica cosa che va scelta però
è la pendenza del diagramma del momento,
la quale sussiste in funzione della scala che si vuole attribuire
al diagramma stesso.
Così facendo, si traccia il diagramma del momento relativo al tratto AD.
Sul tratto AD il diagramma è dunque lineare
poiché non è presente altro carico.
Determinata la scala assegnando la pendenza,
non resta che determinare il diagramma relativo al tratto BD.
Dato che nella cerniera non sono presenti altre forze agenti, il diagramma
del momento si annulla, arrivando a zero nel punto D.
E' possibile constatare quanto detto anche andando ad analizzare
una generica sezione S rispetto alla quale si osserva che
la reazione tra A e la reazione RD
fanno tendere il diagramma verso zero.
In corrispondenza del punto di applicazione R'D
il valore è massimo, per poi raggiungere zero nel punto B.
Per poter procedere con il tracciamento del diagramma del momento,
si deve considerare anche ciò che accade nel tratto BG.
Sul tratto BG si ritrova il carico applicato qL
(che agisce in maniera verticale)
la cui risultante trova applicazione in un punto di equilibrio,
cioè nel punto centrale.
Per effetto del diagramma del momento e della forza fittizia,
si parte con il disegnare un diagramma del momento falso
dovuto al carico qL (forza concentrata).
Si ottiene così un diagramma del momento di tipo poligonale.
Tuttavia, anche in questo caso, si deve tener conto del carico uniformemente distribuito
determinando il diagramma della variante al centro
rispetto alla quale si traccia l'asintoto,
ovvero una retta parallela all'asse della trave BG.
Calcolando i tre asintoti è possibile ricavare il diagramma
del momento parabolico relativo al tratto BG.
Il valore del momento G non è nullo.
Questo valore si riporta, ingrandendo il punto G
(come mostrato in figura)
del tratto BG, tale punto si ribalta
sull'asse BG da cui si riparte per tracciare il diagramma del tratto GC.
In definitiva si ottiene un diagramma del momento variabile in maniera lineare,
secondo una poligonale, soggetto a forze indotte di tipo concentrato
dovute al pendolo DE e alla relazioni di RC. Il diagramma del momento che ne risulta è esattamente quello riportato in figura. Tale diagramma assume un andamento di tipo lineare per poi annullarsi nel punto in cui ha valore nullo
(il punto sul pendolo in C). Con questo abbiamo osservato come determinare il diagramma del momento in un sistema rigido più o meno complesso costituito da travi rigide.