Analizzeremo in questa lezione dei sistemi strutturali chiusi,
ovvero dei sistemi strutturali costituiti da travi rigide
che generano un insieme chiuso.
In particolare studieremo i sistemi di tipo isostatico.
Assegniamo un sistema chiuso come quello rappresentato in figura
formato da quattro elementi trave rigidi
vincolati all'esterno attraverso il carrello in A,
avente l'appoggio cerniera esterna in E
e con la presenza di un vincolo interno C definito da una cerniera.
Immaginiamo che questo tipo di struttura sia caricata
da un sistema distribuito Q
che agisce sul tratto AB.
Un sistema chiuso così rappresentato
presenta gradi di iperstaticità in quanto,
rimuovendo la continuità in corrispondenza di una generica sezione,
non si modifica la struttura cinematica del sistema.
Dunque eliminando qualche vincolo, il sistema continua ad essere non labile.
Nel tratto chiuso sono presenti tre sconnessioni semplici
mentre esternamente sono presenti tre vincoli.
La condizione necessaria di isostaticità, in questo caso, risulta essere pienamente soddisfatta.
In altro modo potremmo dire che i 3 tratti che suddividono la struttura chiusa,
ed in particolare i tratti AE, ABC e CDE,
sono tratti che possiedono 9 gradi di libertà all'interno del piano
vincolati tra loro da tre vincoli doppi
(la cerniera in A, in E e in C),
vincolati esternamente da un appoggio (quello in E)
e da un vincolo semplice (il carrello in A).
Per questo tipo di struttura, applicando l'equazione
che consente di determinare la condizione necessaria e sufficiente
affinché un sistema sia di tipo isostatico,
è possibile affermare che i gradi di libertà ai quali è soggetta la struttura
sono, come abbiamo già detto, nove;
i vincoli hanno anch'essi grado di libertà nove,
per cui il grado di libertà della struttura
e il numero dei vincoli applicati
risultano essere perfettamente concordi.
Essendo stabilito l'equilibrio tra le due grandezze,
è garantita anche la condizione necessaria affinché il sistema sia isostatico.
I tratti però sono vincolati anche esternamente
per cui è possibile affermare che il sistema,
da un punto di vista esterno, è di tipo isostatico.
Analizzando i singoli tratti,
il tratto AE deve ruotare intorno al punto E.
In tal caso il punto A dovrà spostarsi verso l'alto,
ma ciò non è possibile poiché essendo esso vincolato esternamente ad un carrello,
quest'ultimo permette solo una traslazione nel piano d'azione
non consentendo il sollevamento verticale del punto.
Ragionando sul punto C:
il tratto ABC si deve spostare
subendo una rotazione intorno a C;
allo stesso modo, considerando che C appartiene anche al tratto CDE,
esso dovrà spostarsi anche lungo questo tratto.
La congiungente dei punti delle rette d'azione
passanti per C ed E,
ovvero nelle cerniere in C e in E,
definisce che il punto C, essendo il sistema in equilibrio,
è un punto fisso.
Se il punto C è un punto fisso della struttura,
il sistema è sicuramente non labile
e quindi è dimostrato che la condizione
sufficiente affinché il sistema sia isostatico è stata soddisfatta.
Osserviamo ora l'analisi di un tale sistema,
come si studia un equilibrio
di un sistema come quello presentato in figura.
Il carico uniformemente distribuito che agisce sul tratto AB
(anche in questo caso è possibile immaginarlo come un carico fittizio),
concentrato e posto a metà strada rispetto alla trave,
assume un valore pari a 2ql,
ovvero il valore totale del carico applicato sul tratto AB.
Per ottenere l'equilibrio orizzontale è necessario avere una chiusura
del poligono funicolare dovuta al valore della forza F applicata,
della RA applicata (la reazione vincolare in A)
e dalla reazione vincolare rappresentata nella cerniera RE.
Da un punto di vista generale
si deve avere l'equilibrio del poligono funicolare;
da un punto di vista orizzontale si analizzeranno invece le componenti
delle reazioni vincolari secondo gli assi in x e in y,
rappresentati come in figura.
Ripetendo: l'equilibrio orizzontale è dato dal carico applicato 2ql
meno il valore della sua componente orizzontale H con E,
dunque 2ql-HE pari a zero (generalmente).
L'equilibrio verticale è dato da RA - VE,
quindi meno la componente di R con E verticale.
La rotazione intorno al punto E
scelto come polo, come centro di riferimento per la rotazione,
è dato dal valore di R2l-2ql per l,
ovvero meno il valore del carico per il braccio.
Il braccio è quello evidenziato in figura rispetto al polo E.
Quelle esposte sono le equazioni di equilibrio
del sistema strutturale assegnato scomposto lungo le componenti verticali, orizzontali e rotazionali.