Proseguiamo con lo studio sull'arco a tre cerniere
considerando una struttura ad arco come quella rappresentata in figura (ABC)
con A B C che rappresentano tre cerniere soggette ad una forza F
opportunamente orientata e agente sul tratto BC dell'arco.
Per la determinazione delle reazioni vincolari su una struttura così rappresentata
e considerando anche la teoria delle travi ad asse rettilineo,
si usa il principio di sezionamento imponendo che
sia soddisfatto l'equilibrio di ogni pezzo con cui si immagina di considerare la struttura.
Supponendo di scrivere le equazioni cardinali della statica per il tratto AB e BC
soggetti sia alle azioni esterne che alle reazioni vincolari,
la struttura isostatica per l'equilibrio deve garantire
un'unica soluzione all'equilibrio stesso fornendo in maniera univoca
i valori delle reazioni vincolari.
Determinare le reazioni vincolari su una struttura isostatica
e le caratteristiche della sollecitazione
può essere fatto attraverso un metodo che si chiama statica grafica.
Come si particolarizza tale metodo?
In questo caso l'analisi e lo studio di una struttura ad arco a tre cerniere
rappresentata da una struttura A B e C e soggetta ad un carico nel tratto BC,
ci impone una riflessione ovvero iniziare a studiare il tratto BC
soggetto al carico esterno o forza opportunamente orientata
e agente su B e C.
Infatti, se scegliamo di operare in questo modo, nella cerniera B
si genera una reazione che dovrà avere la sua retta d'azione passante per B,
ovvero la reazione vincolare in B è rappresentata da una retta
che appartiene al fascio di rette di centro B.
Una qualsiasi delle rette passanti per B sarà
la retta che definisce la reazione vincolare in B.
Lo stesso discorso possiamo estenderlo anche al caso della cerniera in C,
dove la reazione vincolare sarà rappresentata da una retta d'azione
che appartiene al fascio di rette di centro C.
Il tratto BC, poiché soggetto a queste due reazioni e anche alla forza,
si ritorna al caso di un sistema soggetto a tre forze concorrenti,
una forza F esterna e le due reazioni vincolari.
Queste forze devono essere in equilibrio
e devono concorrere e convergere in un punto.
Analizzando questo primo tratto di struttura BC
esistono diverse possibilità di soddisfare questa condizione statica e sufficiente
affinché ci sia l'equilibrio, in particolare quello grafico.
Analizziamo il tratto AB:
in esso, poiché le reazioni in A e B sono anche qui rappresentate
da rette d'azione appartenenti ai fasci di rette
di centro A il primo e di centro B il secondo e non ci sono forze esterne,
la retta d'azione delle due reazioni vincolari dovrà essere la stessa
o si troverà una retta che passa per i due centri A e B
e sulla quale interagiranno le due reazioni vincolari in A e B.
Pertanto la retta che rappresenta le reazioni vincolari nel secondo tratto
è quella passante per A e B.
Possiamo estendere il concetto anche al tratto di struttura BC,
il quale dovrà avere in B una retta d'azione e il vincolo per il tratto BC
perfettamente allineata con l'equilibrio del primo tronco
per cui avrà la stessa retta d'azione che si ha per l'equilibrio del tratto AB.
La retta C è individuata dal fatto di dover essere in equilibrio nel tratto BC
per cui dovrà essere la retta passante per il punto di intersezione tra
l'asse della reazione vincolare nella cerniera B e quella della forza F.
Così determinata si ricava l'equilibrio anche del tratto di BC,
in particolare le reazioni in B e in C dovranno avere rette
pari a quelle rappresentate in figura affinché sia garantito l'equilibrio
anche sul tratto BC.
Poiché tutto questo è stato rappresentato in maniera grafica,
i moduli e i versi delle forze si ricavano imponendo che ci sia l'equilibrio
e che il poligono funicolare sia chiuso.
Determinato l'equilibrio sulla struttura,
si impone lo studio del diagramma del momento
ovvero la curva delle pressioni della sollecitazione nel momento flettente
sulla struttura in esame.
Si parte dalla cerniera in C in cui si ha la reazione RC che ha
asse determinato, il momento della cerniera è nullo
e avrà un valore massimo nel punto D dato dal valore di RC per la distanza D
cioè per la distanza rappresentata dal valore del braccio della forza per il momento
(come rappresentato in figura).
Pertanto il valore massimo del momento in D è dato da RC per D.
Proseguendo e trattandosi di strutture rigide il momento si ribalta in quanto si continua con lo stesso valore anche sul tratto BD
sul quale si continuerà lo studio fino all'incontro dell'asse della forza F
che agisce sul momento.
Nel punto in cui è applicata la forza
il valore del momento assume un certo valore, in particolare è dato
da RC per D1
(D1 è il valore di una generica sezione rispetto al punto di applicazione RC).
Conoscendo il valore di RC e determinando il valore
del braccio della coppia che si genera, determiniamo il valore di M.
Unendo il punto MD con quello in S, determiniamo il valore del momento,
siamo in un'inversione di momento da negativo a positivo.
In questo modo si continua nella determinazione del diagramma del momento
fino a determinare il diagramma totale relativo al valore
per arrivare al punto E della struttura in esame
passando attraverso l'annullamento del momento della cerniera
e arrivando ad un valore di ME dato dalla componente di F e da quella di RC
per il braccio che determina la coppia applicata.
Arrivato al punto con E, il valore del momento si ribalta
(nelle ipotesi di strutture rigide)
fino ad annullarsi nella cerniera in A,
nel punto in cui la retta d'azione delle reazioni RA incontra l'asse della trave. In questo modo è stato determinato il diagramma del momento su un sistema di travi rigide.