Per andare nel dettaglio ed esplicitare meglio i concetti
di labilità, iperstaticità e isostaticità di un sistema strutturale
al di là dell'applicazione della formula di equilibrio,
analizziamo un caso semplice e consideriamo una struttura con dei vincoli non specificati in precedenza
ma che introdurremo sempre di più svolgendo esempi ed esercizi.
Data una struttura, come quella in figura, connessa in vario modo
con carrelli in A B ed E, con un punto di connessione rigida in C
e con due pattini o vincoli cedevoli (pattini in questo caso) in G e D
e una cerniera in F.
Dato questo sistema, dobbiamo innanzitutto vedere
il sistema in funzione dei vincoli quale tipo di classificazione si pone,
inoltre da un punto di vista cinematico come si comporta tale sistema.
Il primo passo nell'affrontare un esempio di questo tipo è dato
dalla classificazione, sulla base del bilancio, dei vincoli cui la struttura è soggetta
che ci consente di stabilire se la struttura è iperstatica, isostatica o labile.
L'espressione che abbiamo studiato e che applicheremo è la seguente:
di quanti gradi di libertà gode questo sistema strutturale?
N x 3 è la relazione, dove N è il numero dei tratti in questione:
il primo è ABCDE, il secondo è dato da GF e il terzo da FD.
In questo caso i gradi di libertà saranno, per N=3 e sostituendo ad N 3,
3 x 3 = 9 pertanto il sistema presenta 9 gradi di libertà.
Il numero di gradi di vincolo struttura, invece, si calcola
come somma dei gradi di vincolo che ogni vincolo esplica sulla struttura.
Indicando con n il numero di aste che convergono in un vincolo,
il conteggio del numero di vincoli presenti su ogni tratto
lo si applica attraverso le seguenti considerazioni:
- in A abbiamo un carrello che impedisce un solo grado di libertà,
cioè quello della traslazione secondo l'asse del carrello;
- il carrello in B anch'esso impedisce un solo grado di libertà
in particolare quello ortogonale al sistema di scorrimento del carrello stesso;
- in D abbiamo un pattino che impedisce due gradi di libertà
cioè sia quello rotativo che traslazionale verso il basso;
- il carrello in E anch'esso impedisce un solo grado di libertà
secondo l'asse parallelo al piano di scorrimento del carrello stesso;
- in F abbiamo una cerniera che impedisce due gradi di libertà
ed essendo anche due tratti di struttura che concorrono nella cerniera in F
applicando la formula 2*(n - 1) dove in questo caso n ha valore 2 in questo caso la cerniera impedisce solo due gradi di libertà.
Il pattino esterno parimenti impedisce due gradi di libertà. Facendo la somma dei gradi di libertà impediti dai vincoli sul piano strutturale
vediamo che anche questi sono pari a 9.
In questo caso sembrerebbe assicurato l'equilibrio della struttura data.
Bisogna vedere se ci sono centri di rotazione
relativi ad una labilità esterna del sistema
per cui analizzeremo i casi separatamente, prima il tratto ABCE.
Facendo un'analisi sommaria si vede che
non ci sono centri rotazionali allineati per cui,
essendo anche un corpo rigido vincolato a tre carrelli,
il sistema risulta essere non labile e isostatico.
Parimenti possiamo estendere il ragionamento anche all'altro tratto, GFD,
dove in particolare la parte D è vincolata al punto D
che appartiene alla precedente struttura vista (che è isostatica)
per cui non avendo neanche qui centri di rotazione allineati
la struttura è isostatica. Globalmente possiamo dire che il sistema visto
è isostatico e in equilibrio per cui è rispettata l'equazione di equilibrio.