Passiamo all'analisi cinematica dei sistemi costituiti da travi rigide.
Un sistema di travi rigide è detto labile se può subire moti rigidi infinitesimi
perché stiamo affrontando lo studio delle ipotesi di piccoli spostamenti
ragionando su conci elementari.
Si noti che se un sistema può subire dei moti rigidi,
può anche subire dei moti rigidi infinitesimi, che non sono altro che
la linearizzazione dei precedenti.
Non è invece vero l'inverso,
cioè se un sistema può subire moti rigidi infinitesimi
può subire anche dei moti effettivi rigidi anche di grosse entità.
In effetti è il caso emblematico della trave rappresentata in figura
costituita da un appoggio fisso in A e un carrello in B.
La trave non può subire un moto rigido perché
il punto all'estremo A è destinato ad essere fisso nel punto A,
cioè l'estremo A della trave è fisso in quella posizione,
l'estremo B invece può traslare verso il basso ma affinché ciò sia possibile
deve ruotare secondo un arco di cerchio di raggio pari ad L
ovvero alla lunghezza della trave.
In questo caso, poiché il carrello nell'estremo B consente
la sola traslazione verso il basso e non il moto secondo un arco di cerchio,
il moto rigido non può avvenire.
È possibile invece che si crei un moto rigido infinitesimo
in quanto si linearizza il moto rigido di rotazione intorno al punto A
e la traslazione intorno a B.
Per le ipotesi di grandi spostamenti questo non è possibile,
mentre per quelle dei piccoli spostamenti si, sono consentiti dai moti rigidi infinitesimi.
Se chiamiamo con "i" i parametri lagrangiani
che definiscono un moto rigido infinitesimo,
"i" rappresenta il grado di labilità di una trave.
I possibili moti rigidi infinitesimi definiscono lo stato cinematico
del sistema di travi rigide e piane.
Un vincolo è detto iperstatico o inefficace se può essere rimosso
senza che lo stato cinematico del sistema strutturale abbia conseguenze.
Se invece un vincolo non può essere rimosso perché altrimenti
modifica lo stato cinematico del sistema strutturale, viene definito vincolo efficace.
Abbiamo introdotto tre grandezze lagrangiane:
- grado di labilità "i";
- grado di iperstaticità determinato dal poter eliminare dei vincoli
senza modificare lo stato cinematico del sistema strutturale;
- grado di isostaticità per il quale eliminando un vincolo
il sistema diventa labile.
Particolarizziamo questo discorso con degli esempi figurativi.
1) Il primo caso è quello di una trave che si trova su tre carrelli:
se eliminiamo uno di questi tre carrelli,
lo stato cinematico del sistema non cambia
per cui siamo in presenza di una trave di tipo iperstatica.
2) Il secondo caso è quello di una trave con un appoggio e un carrello:
in questo caso se eliminiamo uno dei due vincoli
lo stato cinematico del sistema strutturale cambia
e siamo in presenza di una trave isostatica.
Il numero i dei vincoli iperstatici che
possono essere rimossi senza modificare lo stato cinematico
ne determina il grado di iperstaticità del sistema strutturale.
Ragionando sempre su un sistema trave
con un incastro in A e un appoggio o cerniera esterna in V.
si osserva che esisteranno dei vincoli iperstatici che
possiamo eliminare senza alterare lo stato cinematico del sistema
ed è il caso che vogliamo evidenziare.
Il grado di labilità, in generale, di un sistema strutturale è definito
attraverso una relazione data da g
(che rappresenta il numero dei gradi di libertà del sistema)
meno due valori, v e di (i = grado di iperstaticità
v = numero dei vincoli semplici interni o esterni al sistema strutturale).
La grandezza g si particolarizza:
- 3n nel caso piano
(nel caso in cui ci si trova a studiare le travi piane,
g è dato da 3n, dove n è il numero dei vincoli,
il numero dei gradi di libertà, il numero dei tratti di cui è costituito una trave);
- 6n nel caso spaziale.
Limitandoci al caso piano g, nel nostro caso, è pari a 3n.
L'equazione che determina l'equilibrio strutturale
ovvero l = g-(v-i), si può riscrivere in v-g = i- l con g = 3n
per cui se un corpo rigido si trova nello spazio ha 6 gradi di libertà,
se si trova nel piano a 3 gradi di libertà
Questo spiega perché g si particolarizza nel caso di travi piane in 3n
dove n è il numero delle parti rigide
costituenti il sistema strutturale variamente connesse tra di loro
e con l'ambiente esterno.
Pertanto attraverso quell'equazione riusciamo a determinare
se un sistema risulta essere labile oppure no.
Inoltre un sistema è iperstatico
se il suo grado di iperstaticità è non nullo ovvero diverso da 0,
il sistema è isostatico quando non risulta essere labile.
La trave su tre carrelli ha un grado di iperstaticità
e un grado di labilità in quanto
è pur vero che eliminando uno dei tre carrelli lo stato cinematico non varia globalmente
ma questo non impedisce la traslazione del piano della trave
ovvero la traslazione secondo l'asse x di riferimento.
Il sistema, invece, trave incastro-appoggio è un sistema non labile
e due volte iperstatico in quanto possiamo eliminare il vincolo (cerchiato in figura)
senza che lo stato cinematico ne subisca conseguenze
e il sistema in questo caso diventa isostatico.