Vincoli e reazioni vincolari.
Vincolare un punto di un elemento strutturale equivale a
imporre una serie di limitazioni cinematiche al moto del punto stesso,
cioè significa bloccarlo dal punto di vista cinematico
non consentendo una serie di spostamenti.
Una delle assunzioni fondamentali della meccanica è quella che
ammette l'esistenza di reazioni vincolari, cioè di forze che
possono essere sostituite ai vincoli fisici
senza alterare lo stato del punto vincolato.
Il vincolo è rappresentato attraverso una serie di reazioni alle forze
che portano alla configurazione di deformazione dell'elemento trave piana.
Un'ulteriore assunzione che si pone alla base di questa teoria,
limitatamente ai vincoli privi di attrito, permette a volte di
determinare la direzione e anche il verso della reazione vincolare.
In funzione del tipo di vincolo, è possibile stabilire
la direzione e il verso della forza reazione
alla causa della deformazione dell'elemento trave.
Si suppone che la reazione vincolare abbia direzione e verso opposti
a quello dello spostamento cinematico a cui potrebbe essere soggetto il punto della trave.
Se il vincolo, inoltre, è bilaterale il verso non è più prevedibile
e gli spostamenti impediti, in questo caso, hanno la direzione ortogonale
a qualsiasi incremento di spostamento possibile,
per cui la direzione è individuabile ma il verso non lo sarà più.
In tal caso le reazioni vincolari sono ortogonali a
qualsiasi incremento di spostamento non impedito dal vincolo.
I vincoli possono essere semplici, doppi, tripli
a seconda del grado di impedimento del moto cinematico.
I vincoli semplici impediscono un solo grado di libertà.
Nel caso della trave piana, di cui ci stiamo occupando,
vi sono due tipi di vincoli semplici che prenderemo in considerazione:
un primo vincolo, definito a carrello (cerchiato in figura)
che impedisce l'incremento dello spostamento di un punto della sezione
a cui è applicato il vincolo
e la traslazione verso il basso di questo punto impedito.
In questo caso la retta di azione della reazione è parallela
a questa direzione di incremento dello spostamento cinematico
e passa proprio attraverso il punto vincolato.
Mentre la reazione momento risultante, in questo caso, rimane nulla.
L'altro tipo di vincolo è un doppio pendolo che
presenta le stesse caratteristiche, dal punto di vista analitico-matematico, del carrello.
Questo vincolo si chiama pendolo semplice ed ha
una reazione anch'essa perpendicolare al modulo dello spostamento cinematico rigido
e verso parallelo a quello dell'asse del pendolo.
Tale tipo di vincolo (il vincolo semplice) può essere rappresentato graficamente
attraverso un carrello con un pendolo semplice,
nella realtà ritroveremo spesso questo tipo di vincoli
non solo per gli elementi strutturali, tipo ponte,
ma anche per coperture ampie dove le travi si appoggiano
su altre le travi portanti costituendo un vincolo semplice (carrello e doppio pendolo).
Utilizzando un sistema di riferimento (rappresentato in figura)
dove indichiamo gli spostamenti verso il basso,
gli spostamenti e le traslazioni secondo l'asse roizzontale
nonché elementi di spostamento o di incremento del moto cinematico
dovuti a rotazioni,
per questi vincoli semplici si individua che essi impediscono
il solo spostamento verso il basso del punto vincolato
per cui la loro reazione è esplicata, in maniera direttamente proporzionale
all'impedimento del moto rigido, attraverso una reazione con verso verso l'alto.
Un altro vincolo semplice, spesso utilizzato nella modellistica strutturale,
è il doppio doppio pendolo:
questo vincolo semplice impedisce l'incremento di rotazione della sezione retta
mentre consente l'incremento di traslazione,
ovvero impedisce la rotazione attorno al suo punto di applicazione
ma consente lo spostamento del punto sia verso il basso che in traslazione.
La reazione, in questo caso, consiste in una coppia (indicata con R)
agente nel piano della trave con un asse momento ortogonale al piano della trave
e coincidente con l'asse della rotazione impedita.
Questo tipo di vincolo, denominato doppio doppio pendolo o pendolo improprio,
è costituito da due coppie di doppi pendoli connessi attraverso un elemento rigido.
A seconda del sistema di riferimento scelto, la reazione R
esplica un momento che si oppone alla rotazione del punto vincolato
rispetto al suolo.
Passiamo ai vincoli doppi.
Essi impediscono due gradi di libertà contemporaneamente,
e ne esistono due tipi e li analizzeremo entrambi.
Un primo tipo impedisce la traslazione della sezione
lasciando la sola possibilità di ruotare attorno ad un punto.
In tal caso la reazione è costituita da una forza passante per questo punto.
Un secondo tipo di vincolo doppio impedisce
la rotazione e la traslazione in una direzione, consentendo la traslazione
nell'altra direzione ortogonale a quella impedita.
La reazione in questo caso è data dalla forza avente direzione opposta alla traslazione
oppure da una coppia M (da un momento) che vediamo meglio specificato.
I vincoli doppi sono un appoggio che impedisce la traslazione secondo l'asse (indicato in figura)
e impedisce la traslazione rispetto all'asse ortogonale
e consente, però, uno spostamento rotatorio.
Quest'appoggio è spesso rappresentato anche in parecchie strutture
come una cerniera esterna e l'altro tipo di vincolo era esattamente una cerniera
che consente la sola rotazione intorno al punto vincolato.
In questo caso, considerando il nostro sistema di riferimento,
le reazioni esplicate sono due o meglio
la traslazione verso il basso e la traslazione verso l'asse orizzontale
e consente, con un momento uguale a 0, la rotazione.
Questi vincoli doppi, perché impediscono due gradi di libertà,
sono equivalenti ad avere un incastro scorrevole ovvero un incastro
in cui abbiamo svincolato uno dei vincoli, cioè quello di traslazione orizzontale.
In questo caso abbiamo un impedimento alla traslazione orizzontale e verticale.
Introduciamo l'ultimo concetto di vincolo: il vincolo triplo.
Esso blocca tre gradi di libertà, l'esempio classico è l'incastro
e nella figura rappresentata abbiamo un incastro reale,
cioè quello che avviene tra un plinto di fondazione e un pilastro.
Il pilastro e il plinto costituiscono un incastro, e quindi un vincolo triplo,
che impedisce tre gradi di libertà: traslazione orizzontale, verticale e la rotazione.
Quelli illustrati nella slide sono vincoli esterni e, allo stesso modo,
possiamo parlare di vincoli semplici, doppi e tripli internamente alla struttura
ovvero tra elementi strutturali che costituiscono un complesso strutturale.
In figura è rappresentato un pendolo interno che esplica una reazione
in direzione parallela all'asse del pendolo,
abbiamo la possibilità di osservare in figura anche una cerniera interna
che ha la possibilità di effettuare una rotazione tra i due elementi strutturali connessi,
poi c'è il doppio pendolo, il doppio doppio pendolo e l'incastro,
cioè quando due elementi strutturali sono perfettamente legati.