Dopo tanta teoria e matematica,
con l'introduzione delle derivate e degli elementi vettore spostamento,
osserviamo un caso semplice che si incontra spesso in letteratura.
Consideriamo una trave appoggiata appoggiata con gli appoggi in A e B,
di lunghezza l e con una forza assiale applicata al punto D
ovvero all'ascissa pari a l/3 rispetto al sistema di riferimento
che supponiamo concentrato nel nodo A.
La trave così assegnata avrà una rigidezza assiale espressa da ks = EA
sulla quale è applicata la forza assiale.
Analizziamo innanzitutto il tratto AD:
il coefficiente di dilatazione assiale (y1) è dato
dallo sforzo N1/ks (la rigidezza assiale). Ciò equivale a scrivere la relazione pari alla variazione dello spostamento u1 rispetto all'ascissa x,
ma poiché il valore che vogliamo calcolare è u1, quanto vale esso? Operando un'integrazione di questo valore otterremo u1 pari a N1/ks per x
(per l'ascissa su cui facciamo riferimento)
per C1 che rappresenta una costante derivata dal processo di integrazione.
Nei processi di integrazione C1 si particolarizza per le condizioni al contorno che ci sono,
nel nostro caso considerando lo sviluppo dello studio del tratto AD
ad un'ascissa x = 0 si hanno problemi di traslazione, il vincolo impedisce qualunque tipo di traslazione per cui u1 deve essere uguale a 0.
Conseguentemente, con questo tipo di condizione al contorno,
la costante di integrazione C1 sarà nulla e sul tratto AD ci sarà
u1 in funzione di x = N1/ks per x nei vari punti dell'asta di riferimento.
Passiamo al tratto BD:
il coefficiente di dilatazione lineare è dato da ɛ2 = N2/ks
ovvero dalla variazione du2/dx, abbiamo una variazione assiale
dello spostamento u2 sul tratto BD.
Anche in questo caso, operando l'integrazione del secondo termine
ricaveremo che u2 in funzione di x = N2/ks per x più C2.
In questo caso anche C2 è costante per il processo di integrazione.
per il quale si particolarizzerà in funzione delle condizioni.
Nel tratto BD l'elemento asta è dato
dalla somma di uno sforzo normale più lo sforzo derivante dall'altra asta,
per cui nella continuità di spostamento tra i due tratti AD e DB,
lo spostamento u1 nel punto D e u2 devono essere uguali,
pari a u2 in 0.
In questo caso si evince che, essendo lo spostamento precedentemente calcolato,
u1 = N1l/3ks rappresenta il valore della costante C2
derivata dal processo di integrazione.
Sostituendo tale valore in C2, u2 (x) sarà uguale a N2/ks per x (primo termine)
più N1l/3ks (il secondo termine),
da questa equazione si ricava che il valore di N2 = N1/2 di segno opposto.
Tenendo conto dell'equazione di equilibrio, N1 =2F/3, N2 = -F/3,
effettuando la sostituzione dei valori calcolati (N1 e N2)
nelle equazioni di equilibrio che definiscono le ɛ e le σ
sarà possibile determinare i valori esatti della tensione applicata sulla trave
e sui coefficienti di dilatazione lineare della trave
per effetto degli spostamenti u1 e u2.
Con questo abbiamo anche chiuso una rappresentazione analitico-fisica
di problemi sulle travi elastiche.