Osserviamo le travi elastiche soggette ad uno sforzo assiale,
il relativo comportamento e l'analisi fisico-matematica di esse.
Consideriamo l'elemento concio rappresentato dal rettangolo nero
di lunghezza Δx = l0, il quale per effetto di una forza applicata dovuta allo sforzo normale
subisce uno spostamento u(x+Δx) che dipende dal tipo di concio considerato
e dal materiale di cui è composto.
La deformazione assiale (lungo l'asse x) del concio, per effetto dello sforzo normale,
è indicata con ɛx ovvero la variazione di lunghezza del concio
rispetto alla lunghezza iniziale: l-l0/l0
dove l è la lunghezza del concio deformato rapportata alla lunghezza iniziale.
Le lunghezze sono espressioni degli spostamenti lineari (u)
per cui l'espressione si particolarizzerà come:
Δx (lunghezza del concio iniziale)+u(x+Δx) ovvero lo spostamento finale -u(x)-Δx
ovvero al valore u(x+Δx) cambiato di segno per effetto del - nell'equazione,
tutto rapportato alla lunghezza iniziale Δx.
Sviluppando ed effettuando le dovute semplificazioni nell'equazione avremo
ɛx = du/dx ovvero alla variazione effettiva dello spostamento lineare
rapportato alla variazione di ascissa del concio.
L'equazione di congruenza interna da rispettare per queste travi a deformabilità assiale
è espressa da ɛx = du/dx.
Il legame costitutivo, abbiamo visto, è espresso dal rapporto di linearità
tra la tensione applicata e la deformazione che si genera nella trave
eccetto il fattore E che rappresenta il modulo di Young
(coefficiente di elasticità del materiale).
La trave si particolarizza anche in funzione del legame costitutivo
che dipende dal tipo di sforzo e dal materiale,
in particolare lo sforzo normale che agisce sul concio, N, è dato
da σx, ovvero dalla variazione di tensione lungo tutta la sezione A
dell'elemento trave considerato.
In definitiva lo sforzo normale è dato dalla tensione per l'area dell'elemento:
σxA da cui si ricava che il valore di tensione σx,
per effetto dello sforzo assiale, è dato dal rapporto
tra il valore dello sforzo assiale e l'area su cui esso grava.
Volendo ulteriormente esplicitare l'equazione, essendo ɛx la variazione di u rispetto ad x,
avremo ɛx = σx /E per cui sostituendo a σx il suo valore N/A,
si avrà ɛx = N (il valore dello sforzo normale)/E (il modulo di Young)per A
(l'area della sezione su cui risulta applicata la tensione σx).
La relazione tra lo sforzo normale e la deformazione ɛx
può essere espressa nella forma seguente N = EAɛx
dove EA lo indicheremo con ks (il prodotto tra due grandezze)
e rappresenta la rigidezza assiale dell'asta,
quanto la trave resiste ad un effetto di carico esterno.
L'equazione di equilibrio è data dalla variazione dello sforzo normale rispetto all'ascissa x
(dipende dal carico applicato lungo l'ascissa x),
ma con verso diverso e ciò spiega il segno -.
L'equazione costitutiva data da N = EAɛx
e l'equazione di congruenza interna ɛx = du/dx (variazione dello spostamento u lungo l'ascissa x).
A queste tre equazioni occorre aggiungere le equazioni al contorno
che sono quelle relative alla presenza dei vincoli su un elemento trave
ovvero le reazioni vincolari che si esplicano sulla struttura assegnata.
Riepilogando, data l'equazione N = EAɛx e quella di congruenza interna ɛx =du/dx,
sostituendo ɛx nell'equazione data,
avremo N = EA per la variazione du/dx.
Derivando e differenziando tale equazione otterremo
l'equazione generale che si particolarizzerà per i due casi limite:
E costante ed EA costante.
In questi casi l'equazione si scriverà:
1) per E costante, avremo E per d/dx(A per du/dx) = -qx (il valore del carico lungo l'ascissa x)
2) per EA costante (la rigidezza flessionale di una trave a valore costante), sarà
EA per la derivata al quadrato di u/dx al quadrato = -qx.