L'argomento di cui tratteremo è lo studio delle travi elastiche.
In questa lezione affronteremo la definizione
e lo studio fisico e matematico delle travi elastiche,
considereremo gli effetti delle sollecitazioni
(in particolare dello sforzo assiale) sulle travi elastiche
e osserveremo un'applicazione concreta dei metodi esposti.
Partiamo con l'introdurre il concetto della cinematica della trave inflessa
(laddove per trave consideriamo un sistema spaziale
rappresentato da un solido generico)
attraverso lo studio concentrato della 'linea d'asse della trave'.
La linea d'asse generalmente coincide con l'asse z del nostro sistema di riferimento
e con una sezione generica ad ascissa s che giace su un piano,
in questo caso π (Pi Greco), che la contiene
(per tale motivo la sezione di una generica trave si considera retta).
Le ipotesi cinematiche alle quali faremo riferimento
per introdurre lo studio delle travi inflesse sono le seguenti:
1. Le sezioni rette di una generica trave
si conservano piane durante la trasformazione
causate da un carico applicato su un solido trave;
durante tale effetto la sezione retta si mantiene piana
(anche nel caso della sezione di una trave deformata,
essa giace comunque su un piano π).
2. Le sezioni rette si conservano indeformate nel proprio piano;
la forma di una sezione sotto effetto di uno spostamento,
pur variando la loro posizione nel piano,
si conservano indeformate nel piano stesso.
3. Le sezioni rette si conservano ortogonali alla linea d'asse;
prendendo in esempio una trave rappresentata dal proprio asse
ed in particolare considerandone una deformata (il cui asse è anch'esso deformato),
la sezione s presa con ascissa s
si mantiene retta, ma anche perpendicolare all'asse della trave
nell'istante in cui è considerata la deformazione.
Le prime ipotesi, ovvero quella per cui le sezioni rette si conservano piane
e quella per cui le sezioni rette si conservano indeformate nel proprio piano,
sono state esplicitate nelle lezioni precedenti.
Mentre la terza ipotesi, che riguarda le sezioni rette che si conservano
ortogonali alla linea d'asse, equivale a trascurare
gli scorrimenti tra la linea d'asse e le sezioni rette,
ovvero a trascurare il fenomeno di deformazione,
di leggero spostamento della sezione.
Immaginiamo di avere una sezione di una trave secondo l'asse z.
Per tale sezione (in realtà la deformata andrebbe osservata con una certa angolazione),
visto che l'angolazione per effetto
dello scorrimento delle sezioni subite
durante il processo di carico della trave
è trascurabile, ci limiteremo con questa ipotesi a studiare la sezione quasi indeformata,
trascurando dunque gli scorrimenti tra la linea d'asse e le sezioni rette.
E' possibile notare che questo scorrimento provoca, nel caso di una trave snella,
un campo di spostamento trascurabile.
La variazione di rotazione,
o, dal punto di vista matematico, il differenziale dφ (phi)
della rotazione (se con φ viene indicata la rotazione)
è trascurabile, per cui lo spostamento ottenuto
che non viene tenuto in considerazione è pari a zero.
Nella progettazione di opere in ambito di Ingegneria Civile e Architettura
è importante la capacità di valutare gli spostamenti
e le deformazioni dei sistemi trave.
E' necessario poter comprendere la trave progettata per soddisfare
dei requisiti e soggetta a carichi esterni,
poter osservare il sistema nel suo complesso
(quanto si sposta, come e quanto si deforma),
oltre che determinare la resistenza generale del sistema strutturale
e la sua funzionalità in termini strutturali.
Le costruzioni, pur essendo costruite
per resistere alle sollecitazioni generate dai carichi applicati
per effetto di grossi spostamenti e grosse deformazioni,
potrebbero risultare non più funzionali, o addirittura andare fuori uso
nel caso in cui il campo di spostamento e di deformazione subisse notevoli variazioni
(il sistema andrebbe in crisi).
In questa slide viene mostrato un caso emblematico del secolo corrente,
motivo di discussione per numerosi ingegneri:
è il caso del ponte realizzato a Londra, il River Thames.
Questo ponte su struttura in metallo, in acciaio,
durante il suo breve periodo di vita
ha subito varie modifiche poiché presentava una serie di effetti destabilizzanti
(come quello rappresentato in figura)
che modificavano notevolmente i valori di spostamento
ed i valori di deformazione degli elementi
costituenti quest'opera strutturale.
I requisiti sugli spostamenti e sulle deformazioni
sono importanti da analizzare.
Le "Norme tecniche per le costruzioni" (D.M. del 14.01.2008)
prevedono la verifica di spostamenti,
rotazioni e deformazioni in condizioni di esercizio.
Quanto detto si ricollega al nostro caso,
allo studio e all'analisi, alla determinazione degli spostamenti e delle deformazioni
nelle strutture costituite da travi elastiche.
Nelle prossime slide vedremo come
per queste travi e per questi sistemi costituiti da travi elastiche
sia possibile completare la soluzione in termini di spostamenti e deformazioni.
Prima di far ciò è necessario, per semplificare il tutto
sia da un punto di vista fisico che matematico, assumere delle ipotesi.
La prima ipotesi riguarda il materiale a comportamento elastico e lineare.
Un materiale elastico è un materiale che,
se soggetto ad un carico esterno,
subisce una deformazione di tipo lineare
(si passa in maniera lineare dal punto A al punto B
tra carico e spostamento).
Al termine del processo di carico
la struttura linearmente elastica torna nelle sue condizioni iniziali.
Oltre il punto di linearità massima,
il sistema inizia a subire deformazioni continuando con il procedimento di carica
fino a quando il sistema di annullamento delle forze
lo porta in una situazione diversa da quella iniziale.
All'interno di questa ipotesi vengono presi in esame solo i sistemi linearmente elastici
tali che, una volta terminato il processo di carico,
tornino nella loro condizione iniziale.
La seconda ipotesi riguarda i piccoli spostamenti e le piccole deformaizoni
che abbiamo già affrontato precedentemente.
Per la terza ipotesi, i vincoli devono essere lisci e bilateri:
lisci significa che i vincoli non presentano attrito,
per bilateri si intende invece che la presenza di un'asta della struttura
e di un vincolo della struttura esterna nel nodo A
hanno sempre un punto di contatto tra loro. Il contatto tra la struttura e il vincolo è sempre presente:
il vincolo è sempre direttamente a contatto con l'elemento strutturale che si sta osservando.
Infine, l'ultima ipotesi prevede che i carichi siano conservativi
ed anche questo argomento è stato abbondantemente discusso negli altri paragrafi.
Riepilogando studieremo ora
il problema dei sistemi a travi elastiche
considerando le seguenti ipotesi:
1. materiale a comportamento elastico e lineare;
2. piccoli spostamenti e piccole deformazioni;
3. vincoli lisci e bilateri;
4. carichi conservativi.
L'obiettivo principale dell'analisi di tali strutture
è quello di determinare il campo degli spostamenti
ed il campo delle deformazioni agenti su questa struttura.
Le incognite effettueranno rotazioni, deformazioni
e sollecitazioni interne sugli elementi strutturali.
I dati del problema, ovvero gli input necessari da conoscere
per poter procedere all'analisi, sono:
1. la geometria della struttura:
ovvero come è composta la struttura,
come è fatta e di che tipo è;
2. la sezione trasversale della trave
o delle travi concorrenti:
se è una sezione quadrata, triangolare, a doppio T, a C, etc.;
3. quali vincoli sono presenti nella struttura
ed in particolare che tipo di vincoli tengono insieme i vari pezzi della trave
che vanno a costituire il sistema strutturale,
oppure quali siano i vincoli tra la trave di un sistema e l'ambiente esterno;
4. il legame costitutivo
che denota il perfetto rapporto
tra le tensioni che si generano nelle sezioni della trave
e le deformazioni che questi sforzi,
queste forze generate nell'elemento trave, producono.
Il legame costitutivo generalmente è rappresentato da un valore
tra σ (sigma) tensioni ed ε (epsilon) deformazioni
dato dal valore E (modulo di Young),
il quale rappresenta la variazione flessionale dell'elemento trave;
5. i carichi applicati: ciò che la struttura deve sopportare;
6. le azioni deformative:
se sulla struttura sono presenti deformazioni flessionali, cedimenti vincolari,
distorsioni termiche etc.
Una volta noti questi concetti
è possibile procedere con lo studio della trave elastica
tramite delle semplificazioni.
In particolare nella figura mostrata è possibile osservare il significato fisico
dei piccoli spostamenti ipotizzati.
Nella slide è rappresentata una mensola
soggetta ad una forza F nell'estremo B.
L'asse di questa trave (perfettamente rettilineo nella struttura indeformata)
assumerà un valore curvilineo per effetto del carico F.
In questo caso si dovrà calcolare il momento sulla struttura:
se consideriamo il momento M come la forza F per d
(per il valore reale di "accorciamento" della lunghezza della trave considerata)
si avrà un valore diverso rispetto a quando si considera
la forza F per d (d segnato dall'allungamento)
che si avvicina di molto al valore della lunghezza effettiva della trave in esame.
Anche l'ipotesi di continuità degli spostamenti posta alla base di questo studio
è espressa, da un punto di vista analitico,
facendo riferimento ad un concio elementare
soggetto ad un carico esterno.
Questo concio subisce uno spostamento u
lungo la direzione lineare x
ed uno spostamento verso il basso,
oltre ad avere una deformazione rotazionale espressa dai coefficienti angolari,
ovvero dagli spostamenti angolari φ (phi).
Se ci avvaliamo di una relazione matematica
e seguiamo lo sviluppo in serie di tutte le funzioni spostamento
che concorrono a modificare il concio elementare di questo tipo,
in che modo è possibile semplificare data espressione?
La funzione degli spostamenti
con ascissa (x + Δx) nel punto in cui il concio si è deformato
è data dal valore della forza nel punto indeformato
sommato ad una piccola differenza di funzione df
rispetto all'ascissa x (dx)
per la lunghezza dell'elemento Δx.
Ricordiamo sempre che l'elemento Δx è un elemento tendente a 0,
ovvero un elemento molto piccolo (stiamo parlando di conci, quindi elementi infinitesimi).
La forza che esprime gli spostamenti operanti su un concio
è in funzione degli elementi u, w e φ,
cioè degli spostamenti linearizzati che si generano sul concio dato.
L'equazione del problema,
con le ipotesi poste alla base di questo studio,
si particolarizza in: - equazioni di equilibrio interno
tra i carichi presenti sulla struttura
e le sollecitazioni generate all'interno della struttura per effetto dei carichi;
- equazioni di equilibrio globale
tra il carico che agisce sulla trave
e le reazioni vincolari dei vincoli del sistema strutturale in esame;
- equazioni costitutive
che tengono in considerazione il comportamento del materiale di cui è fatto l'elemento trave
o i sistemi strutturali travi elastiche.
Quindi di tutti quei valori come il coefficiente linearmente elastico, il valore della rigidezza,
il valore del legame costitutivo
e tutti gli altri valori che legano le deformazioni e le sollecitazioni sviluppate all'interno del sistema strutturale;
- equazioni di congruenza, cioè l'equazione di corrispondenza
tra spostamenti e deformazioni e tra carico e vincolo esterno.