Per le travi reticolari introduciamo il metodo dei nodi:
si tratta di un metodo di risoluzione di questi sistemi strutturali così definiti e rappresentati.
Ogni parte della struttura deve essere in equilibrio
sotto l'azione di un sistema di forze esterne che grava su di essa
e con gli sforzi che si generano sulle componenti strutturali del sistema
(come i nodi, le aste) per effetto anche dei vincoli esterni.
In generale la struttura la si definisce come un'insieme di nodi e aste
opportunamente vincolate tra di loro e costituenti un sistema rigido per ipotesi.
Ogni nodo è in equilibrio con le forze che concorrono in esso ma anche con i nodi con cui interagisce attraverso aste di collegamento.
In particolare se immaginiamo di avere una struttura semplice
costituita da vari nodi e aste, nel nostro caso indicate con k, j ed m,
k avrà un equilibrio per effetto degli sforzi che si generano su di esso
e per le aste che concorrono a costituire il sistema e il nodo in esame.
Così facendo si deve costruire un sistema di equazioni di equilibrio
per lo studio di travi siffatte.
Abbiamo detto in precedenza che le uniche sollecitazioni da ricordare
nel calcolo analitico sono gli sforzi normali, essendo le altre trascurabili,
in effetti studiare un corpo rigido come questo sistema strutturale reticolare
significa analizzare un sistema di equilibrio tra le forze esterne e quelle interne
dovute ai nodi e alle aste ed ai vincoli esterni.
Un sistema deve essere globalmente in equilibrio,
il vettore forza F che concorre sulla trave reticolare deve essere uguale a 0
dove l'insieme forza è sicuramente un vettore che
considera tutte le componenti che agiscono sul sistema strutturale.
Poiché tutte le forze applicate concorrono in un nodo,
l'equilibrio nel caso dei sistemi piani si riduce ad un sistema di due equazioni;
l'equazione del momento è soddisfatta e considerata anche trascurabile
ma le uniche equazioni che scriveremo sono quelle del sistema forze
in particolare delle componenti del sistema forza rispetto all'asse x
e delle componenti del sistema forze secondo l'asse y.
Pertanto il sistema F = Fx e Fy deve essere pari a 0.
Questa è la condizione di equilibrio per le travi reticolari applicata al nodo k
in cui le condizioni di equilibrio sono tali che
il vettore F=0 significa Fx e Fy=0 e significa anche che,
per l'equilibrio al nodo k che stiamo considerando,
la sommatoria di αki per Nki+Pkx deve essere uguale a 0,
così come la sommatoria βki per Nki+Pky deve essere uguale a 0.
Cosa rappresentano, in termini fisici, i coefficienti appena scritti?
Con α e β indichiamo dei valori angolari,
in particolare degli angoli coseno della componente k-esima.
Osserviamo la figura e consideriamo la forza k3 concorrente nel nodo k,
con α indichiamo l'angolo tra la direzione indicata e l'asse x
mentre con β indichiamo il valore dell'angolo come coseno di esso
tra la direzione evidenziata e l'asse y sempre relativo al nodo k
e al valore i-esimo del nodo collegato a quello k.
Pkx e Pky sono le componenti delle forze che gravano sul nodo
e scomposte secondo le direzioni x e y.
Quanto appena detto si vede meglio nella slide mostrata
dove la P è la forza sollecitante applicata al nodo k
ed è scomposta nelle due componenti Pky e Plx come opportunamente rappresentato
mentre le α sono gli angoli coseno della direzione dello sforzo concorrente nel nodo k
dovuto al nodo i-esimo collegato rispetto all'asse x.
Lo stesso si verifica rispetto all'asse y e lo indicheremo
come angolo coseno con βki e con una convenzione assegnata tale che
gli elementi tiranti assumono un valore positivo.
Ricordiamo che l'elemento tirante è quello che nell'asta sviluppa
una reazione che tende a tirare i nodi a cui è collegato.
Per l'impostazione teorica data, Nki e Nik sono perfettamente uguali,
gli sforzi lungo l'asta sono uguali e opposti
per cui possiamo scrivere l'equazione di equivalenza Nki=Nik.
Ritorniamo al problema di equilibrio generale.
Per ciascun nodo è possibile scrivere due equazioni di equilibrio
rappresentate come sommatoria di αki Nki+Pkx=0
e ugualmente per gli altri coseni vettori con asse di riferimento y.
Come abbiamo detto in precedenza Nc è il numero di nodi,
essendo 2Nc i gradi di libertà relativamente ai nodi
saranno 2Nc le equazioni di equilibrio saranno.
Invece le incognite in questo sistema di equazioni sono
gli sforzi Nki nelle aste e i parametri delle reazioni vincolari.
Pertanto le equazioni del sistema saranno in numero pari: Na (il numero delle aste)
più 3 che sono le condizioni dei parametri delle reazioni vincolari sul sistema generale.
L'equazione in una struttura reticolare isostatica
è tale che va verificata la seguente condizione Na+3=2Nc
(questo è sempre vero nel caso piano):
se la struttura reticolare è cinematicamente determinata, ovvero è isostatica,
le equazioni di equilibrio nodale (scritte ai singoli nodi concorrenti in una struttura)
formano un sistema di 2Nc equazioni in Na+ 3 incognite.
Trattandosi di strutture isostatiche, Na è il numero delle equazioni
per cui Na+3 è la condizione di equivalenza rispetto al sistema strutturale.
Le incognite da calcolare per i sistemi di questo tipo saranno
N12 N13 N23 (gli sforzi nelle aste) più le reazioni di equilibrio esterno.
Studiare una capriata di un sistema reticolare semplice
significa scrivere un sistema di equazioni in forma ordinata in funzione degli sforzi
tale da avere una forma tabellare come quella espressa nella figura.
Inoltre per un singolo nodo k-esimo gli sforzi che concorrono in esso, Nki e Nik, sono forze di uguale valore e opposte (ovvero sono uguali),
mentre non possiamo dire lo stesso per gli angoli coseno, α e β,
i quali assumono valori diversi in funzione del nodo a cui facciamo riferimento
essendo l'asta diversamente concorrente nei singoli nodi costituenti il gruppo.
Studiare l'asta AB concorrente nel nodo A
sarà diverso dal considerare l'asta AB concorrente nel nodo B
in quanto i valori angolari rispetto all'unico sistema di riferimento, x e y,
saranno diversi.