Avendo definito e memorizzato bene i concetti delle aste tiranti
e puntoni delle travi reticolari, che saranno di fondamentale importanza
nello studio dei sistemi strutturali siffatti,
introduciamo i metodi per analizzare tali sistemi strutturali.
Le cerniere, ovvero i nodi costituenti le travi reticolari,
sono dei punti materiali dotati di due gradi di libertà.
Questo si verifica ragionando per strutture piane,
se ragioniamo invece per strutture spaziali i gradi di libertà della cerniera
diventano tre.
Le aste dobbiamo vederle come dei vincoli
che tengono insieme le cerniere in cui concorrono.
Se consideriamo un'asta costituita da due nodi, k e j,
l'asta di lunghezza l la possiamo immaginare come un vincolo
che tiene uniti i due nodi (k, j) sempre alla stessa distanza l.
Inoltre abbiamo i vincoli esterni che impediscono
il movimento dell'intero sistema strutturale rendendolo isostatico o meno
a seconda dei sistemi che andremo ad analizzare.
Il sistema generale costituito da una travatura reticolare (un'insieme di aste e nodi)
per le ipotesi fatte si considera alla stregua di un sistema rigido.
Una trave reticolare, inoltre, può essere vista anche come
un'insieme di elementi fondamentali,
nella fattispecie la più semplice travatura reticolare è quella rappresentata in figura
costituita da tre nodi e tre aste concorrenti con dei vincoli esterni
ovvero una cerniera, un appoggio e un carrello.
Per costruire una trave più complessa si possono unire tanti punti elementari
fino a costituire il complesso strutturale che serve
allo scopo funzionale di una struttura.
Se prendiamo l'elemento a tre aste e tre nodi
e consideriamo di applicarci altri sistemi sempre triangolari,
dal sistema rappresentato nella prima immagine possiamo giungere
al sistema strutturale mostrato nella seconda immagine costituito da cinque nodi e sette aste.
L'ultimo sistema è composto da sistemi elementari a forma di triangolo.
Per tali sistemi definiamo le seguenti caratteristiche:
- Nc, indica il numero di cerniere presenti in un sistema strutturale;
-Ne, rappresenta il numero di gradi di libertà dell'intero sistema strutturale
da un punto di vista esterno;
-Na, rappresentiamo il numero delle aste che compongono un sistema strutturale
ovvero il numero dei vincoli interni al sistema strutturale.
Definite le caratteristiche Nc, Ne, Na,
il sistema strutturale reticolare potrà essere anche rappresentato
da una serie di espressioni analitiche;
in particolare un sistema reticolare si dirà cinematicamente determinato o isostatico
se il numero dei vincoli esterni e interni è uguale al numero dei gradi di libertà.
Ciò possiamo scriverlo nel seguente modo:
il numero dei vincoli è rappresentato da Na (numero delle aste o vincoli interni),
Ne sono i vincoli esterni che bloccano e vincolano il sistema esterno
per cui Na + Ne deve essere uguale a Nc ovvero al numero delle cerniere o nodi.
Poiché le cerniere sono rappresentate da due gradi di libertà,
Nc che ha un solo grado di libertà deve essere moltiplicato per 2
essendo 2 i gradi di libertà della cerniera.
Nel piano vale l'equazione Na + Ne = 2Nc,
nel caso in cui invece l'equazione che vogliamo scrivere è nello spazio
avremo Na + Ne = 3Nc essendo 3 volte i gradi di libertà impediti dalla cerniera
nel sistema spaziale di riferimento.
Tutto quello che abbiamo detto studiamolo fisicamente
su una struttura che si propone.
Una struttura semplice è quella in figura dove abbiamo
dei vincoli esterni A e C e delle aste o nodi che concorrono a
costituire un sistema reticolare.
Tale sistema ha 8 aste e Nc ovvero il numero delle cerniere pari a 6.
Se applichiamo l'equazione appena vista, Na+Ne=2Nc,
Ne rappresenta il numero dei vincoli esterni che in questo caso è pari a 3
in quanto abbiamo una cerniera e un carrello (2+1=3).
In questo sistema, per l'equazione applicata, troveremo che
Na, ovvero il numero delle aste, è più basso
della somma dei numeri delle cerniere e dei vincoli esterni
per cui il sistema si dirà instabile per i vincoli interni.
In un sistema invece come quello rappresentato nella figura indicata,
rifacendo l'analisi e avendo un numero di 9 aste
(il sistema è simile a quello visto in precedenza ma con un'asta in più),
e di 6 nodi, sviluppando l'equazione vista,
cioè Na=2Nc-3, si ha un'equivalenza della struttura
e il sistema si definisce stabile per i vincoli interni.
Un sistema strutturale reticolare è visto come un'insieme di elementi fondamentali
come quello triangolare in cui abbiamo 3 aste e 3 nodi,
la cui ripetizione consente di generare una trave reticolare più o meno complessa
e sulla quale si soffermeranno le nostre osservazioni per uno studio tale da
arrivare alla definizione di equazione di equilibrio che consente di
determinare le caratteristiche di questo sistema strutturale.
Ogni parte della struttura del sistema reticolare
deve essere sempre in una condizione di equilibrio,
così come nel caso del sistema raffigurato in struttura data
se vediamo l'equilibrio al nodo A, esso deve essere rappresentato
sia dalla reazione esplicitata dal vincolo in A che dai vincoli sulle aste.
Tale sistema consente di determinare un poligono funicolare
dove la freccia disegnata rappresenta RA,
il tratto è lo sforzo che si genera sull'asta chiamata R1 con il verso indicato
e la chiusura del poligono sarà tale da calcolare il valore di R2
corrispondente all'asta evidenziata.
L'equilibrio al nodo A si riporta agli equilibri sugli altri nodi e sulle maglie
che costituiscono la travatura reticolare.
In definitiva si arriva ad un sistema come quello cerchiato in figura
dove avendo determinato, attraverso metodi grafici,
i valori delle reazioni vincolari sia da un punto di vista qualitativo sia da un altro diverso, riusciamo a determinare quali sono le aste puntoni e quali quelle tiranti di un sistema strutturale siffatto.