Analizziamo la relazione che si instaura tra
le caratteristiche della sollecitazione
e le tensioni interne alla sezione retta della trave piana.
Sulla sezione retta le caratteristiche sono espresse
dalla risultante delle forze f e dalla risultante del momento agente sulla sezione stessa.
Una componente che agisce sulla sezione è definita da t,
corrispondente alle tensioni che si sviluppano all'interno della sezione retta.
Nel sistema di riferimento individuato dalla sezione, Oxyz,
con z asse uscente dalla sezione per cui ortogonale al piano contenente la sezione,
essa è espressa dalla relazione data dalle sigma con z (σz) e dalle tau (τ)
ovvero da due componenti tensionali:
la prima, σz, che si sviluppa in maniera ortogonale alla sezione stessa della trave,
le τ sono le tensioni tangenziali e sono quelle che
si sviluppano all'interno della sezione della trave.
Le τ a loro volta sono scomposte secondo le componenti x y z
e nella fattispecie secondo le componenti del solo piano x e y,
pertanto le τ sono date dalle τxz per il versore ex
più le τyz per il versore ey.
Continuando in questa discussione,
andando a sostituire nell'equazione madre, che rappresenta
la risultante delle forze che agiscono all'interno della sezione retta della trave,
la forza F totale (il vettore forza) è data dall'integrale esteso ad A ,
ovvero all'intera sezione della trave,
delle componenti t per dA dove t, come abbiamo visto, è dato
dalla somma delle σ e delle τ
per cui l'integrale indicata in figura si particolarizza nell'integrale
estesa alla sezione delle componenti e delle tensioni normali
più la componente delle tensioni tangenziali. A questo si aggiunge la risultante delle componenti normali alla sezione retta che dipendono esclusivamente dalle tensioni normali, σz, agenti nel piano ortogonale al piano della sezione retta.
Le t, cioè la componente delle tensioni tangenziali è data dall'integrale,
anch'esso esteso all'intera sezione o area della trave,
delle τ per dA.
Essa si particolarizza in due componenti che abbiamo visto scomposte, le τ,
nel piano della sezione retta per cui l'integrale di τ diventa
l'integrale di τxz in dA per il versore più la componente τyz in dA.
Il momento totale agente nella sezione retta è dato
dall'integrale della componente r (ovvero la coordinata
che individua il punto generico su cui stiamo sviluppando le nostre considerazioni rispetto al centro del sistema di riferimento e quindi a una coordinata polare) per t o tensioni tangenziali.
Quindi il vettore r moltiplicato il vettore delle tensioni tangenziali.
Particolarizzando queste componenti e ricordando inoltre che r nel piano Oxyz
è dato dalla x, cioè la componente della distanza del punto dA
rispetto al centro di riferimento sull'asse x per il versore ex
più la componente y per il versore ey.
L'equazione, in definitiva, sarà espressa da due componenti:
una legata sempre alla tensione normale e l'altra alla tensione tangenziale
che si instaura nella sezione retta.
Il momento torsionale, invece, è dato
dalla componente delle tensioni tangenziali che si instaura
nell'elemento dA considerata in riferimento alla sezione retta.
Il momento flessionale è la componente del momento totale
dovuto semplicemente agli effetti flessionali che agiscono all'interno della sezione,
in particolare questo agisce nella direzione ortogonale alla sezione retta
ed è legato alle due componenti, σz, secondo le due componenti in piano x e y.
Le componenti locali delle caratteristiche della sollecitazione
in generale possiamo dire, da quanto appena visto, che si distingono in due gruppi:
1) il primo è legato alle componenti della sola tensione normale, ovvero alle σ.
Pertanto abbiamo:
- lo sforzo normale N corrispondente all'integrale esteso a tutta la sezione delle σz in dA;
- il momento Mx dato dall'integrale estesa a tutta la sezione che stiamo osservando
delle σz per y, cioè per la distanza secondo l'asse y dell'elemento dA;
- il momento My dato dall'integrale estesa alle σz per la componente x
cioè la distanza dell'elemento dA rispetto all'origine O in dA.
2) Il secondo gruppo, invece, è rappresentato dalle grandezze che
dipendono dalle tensioni tangenziali, nella fattispecie possiamo dire che
tali grandezze sono rappresentate da Tx Ty e Mt dove
- Tx è data dall'integrale estesa alla sezione retta di riferimento delle τz in dA;
- Ty è dato dalle τy in dA;
- il momento torsionale Mt è dato sempre dalle componenti τxyz e τxz opportunamente coordinate tra di loro e considerando sempre l'integrale esteso alla sezione retta.