In questa lezione tratteremo alcuni casi particolari delle forze elementari già trattate nella seconda lezione riguardante la dinamica.
Parleremo del moto lungo un piano inclinato in diverse condizioni,
la forza centripeta e la sua applicazione nelle curve inclinate o in presenza di attrito,
le caratteristiche del moto in un pendolo semplice
e la sua approssimazione nel caso di piccoli angoli.
In ultimo mostreremo anche un esempio fatto con una carrucola ideale.
Partiamo subito con il parlare del piano inclinato.
Consideriamo un corpo di massa m (l'oggetto in blu in figura)
soggetto alla forza di gravità P su un piano inclinato,
alla reazione vincolare normale N
e alla tensione di una corda T.
Il corpo in queste condizioni è in uno stato di quiete.
Analizziamo come si comporta il corpo:
lungo l'asse x avremo
la componente di P seno di θ
(nel grafico abbiamo x parallelo al piano inclinato
e y perpendicolare sempre al piano inclinato)
quindi Psenθ - T, la tensione del cavo;
lungo l'asse y avremo invece la componente N, perpendicolare all'asse x,
meno P coseno di θ.
Considerando che l'oggetto è in quiete,
avremo che T=mgsenθ e N=mgcosθ.
Se un oggetto è fermo, come in questo primo caso,
su un piano inclinato tenuto da una corda,
si avrà che una componente della forza peso viene compensata
dal piano inclinato, per cui N=mgcosθ,
mentre l'altra componente è data dalla tensione del filo T=mgsenθ.
Al variare dell'angolo θ, più forza verrà attribuita ad una delle due componenti:
se ad esempio θ è pari a 0, il piano si troverebbe in orizzontale
e l'unica delle due forze diverse da 0 sarebbe N;
se θ è uguale a 90°, cosθ sarebbe uguale a 0,
il piano sarebbe verticale e sarebbe la tensione a mantenere fermo l'oggetto.
Nel caso generico in cui θ è pari all'angolo mostrato in figura,
le forze saranno di grandezza pari alle formule mostrate in figura.
Se il cavo invece non fosse presente
si avrebbero semplicemente due forze:
la forza peso P e la reazione vincolare N.
Psenθ non sarebbe più compensata dalla tensione del filo,
per cui Psenθ=ma, ovvero massa per l'accelerazione.
N - Pcosθ invece è uguale a 0.
Quando scriveremo P=mg
l'accelerazione dell'oggetto è uguale a gsenθ,
mentre N è uguale ad mgcosθ.
La prima cosa verificabile è che l'oggetto scende
con un'accelerazione legata sia all'accelerazione gravitazionale g,
che all'angolo di inclinazione.
Tornando ai casi estremi:
se l'angolo θ fosse piatto, quindi θ=0, l'accelerazione sarebbe nulla,
se invece fosse verticale, θ=90°, si avrebbe la caduta libera dell'oggetto (gsenθ=g).
L'accelerazione dell'oggetto dipende dal seno dell'angolo,
che è sempre e comunque minore dell'accelerazione
(ricordiamo che il seno è limitato tra i valori 0 e 1).
Il corpo si trova in moto uniformemente accelerato lungo l'asse x.
Se si desidera conoscere la legge oraria, si devono utilizzare le relazioni
della cinematica per il moto uniformemente accelerato.
Se il corpo parte da fermo da un'altezza h, avremo
con x0=0 e v0=0:
x(t)=1/2at al quadrato=1/2gsenθt al quadrato
e v(t)=gsenθt.
l è la lunghezza che percorre l'oggetto
per cui h=lsenθ;
ricaviamo l da questa formula e otteniamo l=h/senθ.
Riscriviamo la formula come 1/2gsenθtf al quadrato (t di f = t finale, ovvero il tempo in cui l'oggetto tocca terra)
dunque tf = √2l/gsenθ.
La velocità finale è vf=gsenθtf,
riscrivibile come vf=√2lgsenθ;
abbiamo detto che lsenθ=h, sostituiamo
e otteniamo che la velocità finale è uguale a √2hg,
ovvero la stessa velocità finale che si ottiene lasciando cadere da un'altezza h l'oggetto.
La velocità è la stessa che si ha quando lasciamo cadere l'oggetto verticalmente,
ma il tempo impiegato per giungere al suolo sarà maggiore.
Se il piano è reale e quindi non idealmente liscio,
si avranno degli attriti.
(Tornando momentaneamente alla precedente slide,
spiegheremo in un secondo momento come mai queste formule sono così importanti,
ma è importante sapere che l'oggetto, anche avendo una traiettoria diversa,
avrà velocità finale sempre uguale alla sua velocità iniziale
nonostante la sua accelerazione possa variare dipendentemente dall'angolo;
la quantità h è invece svincolata dall'ampiezza dell'angolo)
Considerando il fatto ideale in cui sono presenti degli attriti,
si avrà un primo caso statico:
è possibile valutare l'angolo θ per cui l'oggetto rimane fermo
(θ dipenderà dal coefficiente di attrito statico del piano)
per cui avremo che il corpo subisce la reazione vincolare normale N,
la forza peso P e la forza di attrito statico Fas.
Se in equilibrio si ha che Psenθ - Fas = 0
e N - P senθ = 0,
dunque Fas = mgsenθ e N = mgcosθ.
Entrambe sono equazioni molto simili a quelle già viste nella tensione del filo.
A differenza di questa, però, conosciamo esplicitamente
la relazione che lega la relazione normale N
alla forza di attrito statico massima.
Nel caso in cui è verificata la condizione Fas = mgsenθ
minore di μsN,
la quale implica che μsN = μs mgcosθ,
si ha che μs è maggiore della tangente di θ.
Per la prima volta abbiamo caratterizzato il coefficiente μs,
ovvero abbiamo stabilito che la tangente di θ deve essere minore o uguale di μs
altrimenti per un angolo più grande che non verifica questa condizione, l'oggetto inizia a scivolare lungo il piano.
La disuguaglianza μs≥tgθ vale
poiché stiamo considerando μs come una quantità adimensionale
per cui anche la tangente di θ sarà adimensionale.
Per la prima volta è possibile farsi un'idea di cosa vuol dire un coefficiente di attrito;
si potrebbe misurare μs anche sperimentalmente
variando mano a mano l'angolo fino a quando il corpo non inizia a muoversi.
Cosa accade se il corpo si muove?
Si avrà Psenθ - Fad (attrito dinamico) = ma (massa per accelerazione)
e N - P senθ = 0, quindi fermo.
Sappiamo che a = g senθ dall'equazione evidenziata (m è stata semplificata)
meno μd N / m, dove N è la reazione vincolare normale.
Possiamo anche riscrivere l'equazione come N=g(senθ - μdcosθ)
a sua volta uguale a N = mgcosθ.
Dall'equazione N = mgcosθ possiamo vedere
che se consideriamo il corpo che parte da fermo da un'altezza h,
avremo che a sarà uguale a (senθ - μd cosθ).
Dato che μd è una quantità positiva e stiamo considerando angoli compresi tra 0° e 90°
e coseno di θ è positivo in quell'angolo
(se supera i 90° l'oggetto sarebbe in caduta libera e non avrebbe aderenza),
abbiamo che l'accelerazione è inferiore rispetto al caso esaminato precedentemente
dato che abbiamo ora una forza che si oppone al moto.
Il tempo finale tf è uguale a √2l/g(senθ - μd cosθ)
ovviamente maggiore del tempo finale tf in assenza di attrito
(impiega più tempo a giungere a terra).
La velocità impiega per giungere a terra vf, invece,
è sicuramente minore della velocità che ci aspettavamo all'inizio.
Anche questo sarà un argomento che affronteremo meglio in seguito
in modo tale da poter comprendere come mai, in questo caso, si ha una perdita di velocità quando il corpo giunge a terra.