In questo paragrafo illustreremo le caratteristiche di un altro tipo di forza,
la forza elastica.
La forza elastica è quella forza che si ottiene
utilizzando un elastico o una molla.
Quando comprimiamo una molla, essa tende a riallargarsi
viceversa quando l'estendiamo, tende a ritornare alla posizione di equilibrio.
La forza elastica è quindi applicata tramite una molla,
essa è di direzione costante lungo un piano,
è sempre diretta verso un punto O
(chiamato centro) e ha modulo proporzionale alla distanza da O.
A mano a mano che ci si allontana da O, in una direzione o nell'altra,
la molla tende sempre a ritornare alla sua lunghezza naturale,
ovvero il suo estremo tende sempre a ritornare nel punto O.
Come vedremo nella slide successiva, assumendo l'asse x parallelo alla direzione indicata in figura con il colore giallo,
e fornendo come origine il punto di equilibrio della molla x0,
potremmo dire che la forza non è altro che
F= -k(x-x0)ȋ
dove ȋ ha sempre la stessa direzione dell'asse x,
(x-x0) è la distanza del punto dall'origine,
mentre -k è il verso.
Ricordiamo che ȋ è un versore dell'asse x
e k è la costante elastica della molla.
k, per definizione, deve essere positiva
e x, come abbiamo detto, è la posizione lungo l'asse.
Graficamente avremo delle rappresentazioni come quelle in figura.
Si ha l'asse x e l'origine indicata dal punto x0.
La prima rappresentazione è di una molla sulla quale non viene apposta alcuna forza e sulla quale non si agisce,
è una molla in stato di quiete.
La forza, in questo caso, in F0 sarà uguale a
-k(x0-x0)ȋ = 0.
Nel secondo esempio, se estendiamo la molla
portandola in una posizione maggiore rispetto ad x0,
in questo caso x1,
si avrà che (x1-x0) sarà maggiore di 0.
La forza F0 sarà quindi pari a -k(x1-x0)ȋ,
quindi una forza negativa
diretta verso la parte negativa delle x.
Nell'ultima rappresentazione di F2,
la forza è invece diretta nell'altro verso (come indicato in figura)
poiché (x2-x0) è minore di 0.
Nella formula il meno davanti alla costante si elimina ottenendo F0=k(x0-x2)ȋ,
dunque una forza nuovamente positiva che tende a riportare l'oggetto nella sua posizione iniziale.
La legge oraria di un corpo P soggetto alla forza elastica risulta,
nel caso x0=0,
Fel = -kx = ma.
Sostituendo a come la derivata al quadrato di x in dt al quadrato
(attenzione al fatto che questa è una considerazione fatta solo lungo l'asse delle x, quindi componente del moto unidimensionale),
sarà possibile riscrivere l'equazione oraria come evidenziata in figura.
Quando abbiamo parlato della cinematica, nella parte riguardante il moto armonico,
abbiamo già incontrato la stessa equazione differenziale di secondo grado,
ricordando che in quel caso parlavamo di un corpo
vincolato a percorrere un determinato spazio
in maniera molto regolare, legato alla funzione seno.
Un oggetto soggetto alla forza elastica
riprende esattamente l'equazione differenziale di secondo grado del moto armonico.
La soluzione, come abbiamo già avuto modo di vedere precedentemente,
è x(t)=Asen(ωt+Φ0),
con ω, la pulsazione, uguale alla radice quadrata di k/m.
In questo caso la pulsazione,
collegata in qualche modo alla velocità v(t)= Aωcos(ωt+Φ0)
impiegata dall'oggetto a percorrere la sua traiettoria completa,
è uguale alla radice di k/m
(le caratteristiche cinematiche di questo oggetto sono strettamente legate alla costante elastica della molla e alla sua massa).
Il periodo T sarà uguale a 2π/ω,
ovvero 2π/√m/k.
Un oggetto di massa minore avrà un periodo minore,
ovvero completerà l'intero ciclo in un tempo inferiore.
Una costante elastica maggiore darà un periodo sempre minore,
poiché la forza di richiamo che permette alla molla di spostarsi avanti e indietro sarà più forte.
Ampiezza A e Φ0 dipendono dalle condizioni iniziali.
Ad esempio, se un punto materiale oscilla intorno all'origine x0=0,
partendo da un punto x1 con una velocità v1,
avremo x1 = Asen(Φ0)
e v1=Aωcos(Φ0),
grazie alla formula della velocità v(t)= Aωcos(ωt+Φ0)
considerata nel tempo 0 e quindi con ωt pari a 0.
Risolvendo il rapporto si ha tgΦ0= ωx1/v1
(conoscendo il punto di partenza è possibile calcolare anche la fase iniziale)
e l'ampiezza totale A=√x1 al quadrato + v1 al quadrato/ω al quadrato.
Se facciamo partire un oggetto ad una data velocità iniziale v1,
date le relazioni mostrate, sarà possibile calcolare il suo valore Φ0 e la sua ampiezza A.
Ricordando che l'ampiezza è la massima distanza dal centro, quanto l'oggetto si allontanerà da esso,
mentre Φ0 valuta la fase del moto (se si sta allontanando, se sta tornando indietro, etc...).
Nel caso in cui invece parta da x2 con velocità nulla,
A sarà uguale ad x2 in un moto lungo l'asse
(A con valori compresi nelle x maggiori di x0),
l'ampiezza massima sarà quindi o x2 o
-x2 (ampiezza massima simmetrica nel verso opposto)
con una fase che può essere o π/2 o 3/2π.
Sarà possibile giungere ad una doppia soluzione
a seconda di dove è posto il moto.
La forza elastica ci permette quindi di calcolare,
conoscendo la costante elastica della molla,
una forza valutando quanto essa deformi la molla stessa,
sempre entro determinati limiti.
Come per l'esempio di un peso elevato poggiato al di sopra di un tavolo che fa sì che questo si rompa,
anche la molla, se troppo estesa, darà una risposta non più lineare.
Qualunque molla reale
possiede un dato intervallo di funzionamento
che, se superato, comporterà il piegamento della stessa.
In questo intervallo di funzionamento si ha però una linearità
tra la forza applicata e la deformazione.
Conoscendo il coefficiente di elasticità k,
sarà possibile usare il dinamometro per calcolare la misura statica della forza.
Avendo un oggetto fermo al quale applichiamo una forza F ignota
più una forza elastica,
la forza sarà esattamente pari alla forza elastica esercitata.
Se vogliamo sapere quanto forte stiamo tirando una molla,
oppure quanto fortemente traina una forza che ci interessa,
possiamo attaccare la molla al dinamometro e farne una visura.
In questo modo è possibile anche calcolare la forza peso di un oggetto.