Dopo aver visto le tre leggi della dinamica
bisogna introdurre altre informazioni utili sul moto,
esse sono: la quantità di moto e l'impulso.
Definiamo la quantità di moto.
Un punto materiale di massa inerziale m e velocità v
è solitamente indicato con p
(è un vettore perché la velocità è un vettore).
La quantità del moto non è altro che la massa dell'oggetto moltiplicata per la sua velocità,
da non confondere con f=ma,
nel caso in esame si tratta della quantità di moto.
Come viene collegata la quantità di moto con la forza?
Possiamo riscrivere la seconda legge della dinamica utilizzando la quantità di moto
nel seguente modo: F =dp/dt ovvero la forza è uguale alla variazione della quantità di moto nel tempo,
non è altro che la derivata della quantità di moto nel tempo.
Nel caso la massa del punto sia costante
avremo F=dp/dt
ma essendo m costante nel tempo, avremo mdv/dt=ma.
Nel caso in cui, non è il caso delle forze normali che andremo a studiare,
avremo la massa dell'oggetto non costante,
non potremo portare fuori la massa dal differenziale
per cui tale relazione (F=ma)
è la formula più generale della seconda legge di Newton
perché dà la forza di cambiare la massa stessa dell'oggetto.
Nel caso in cui ci sia un forza in grado di modificare
anche la massa dell'oggetto,
la legge da applicare non sarà F=ma
(in quanto essa suppone che la massa dell'oggetto sia costante)
ma dobbiamo considerare la generalizzazione (F=dp/dt).
Un altro parametro importante da definire oltre la quantità di moto è l'impulso.
Dalla seconda legge di Newton abbiamo visto che F=dp/dt,
se moltiplichiamo dt per entrambi i lati avremo che Fdt=dp,
dunque una forza applicata per un tempo infinitesimo
causa una variazione infinitesima di quantità di moto.
Ovviamente questa è una relazione infinitesima
che è importante per se stessa
ma risulta essere importante anche integrata.
Definiamo I l'impulso, esso è il risultato dell'integrale ∫Fdt
Una forza, varia o costante,
applicata a un oggetto, integriamo la forza nel tempo
e avremo una variazione dell'impulso (∫dp).
L'impulso passerà da uno stato p0 a uno stato p e avremo Δp.
L'impulso della forza non è altro che l'integrale della forza nel tempo,
tale impulso varia la quantità di moto secondo la legge.
Abbiamo trovato la relazione integrale tra l'impulso e la quantità di moto.
Questo è abbastanza importante, lo vedremo nel seguito,
perché avendo delle forza molto intense per tempi infinitesimi,
non possiamo utilizzare la forma normale differenziale per calcolare la quantità di moto
ma avremo la versione integrale e conosceremo l'impulso della forza
e con questo potremo sempre valutare le caratteristiche cinematiche dell'oggetto nel moto.
Questa è la forma integrale della seconda legge di Newton,
è generale, come nel caso precedente, ed è una versione integrale.
Osserviamo il teorema dell'impulso.
L'impulso di una forza applicata ad un punto materiale
è pari alla variazione della quantità di moto, per, massa costante I=mΔv.
Precedentemente abbiamo visto I=Δp,
se la massa è costante possiamo scrivere I=mΔv.
In tutte le ultime definizioni, sia della quantità di moto sia dell'impulso,
non abbiamo analizzato l'unità di misura.
La quantità di moto e l'impulso si misurano in kg*m/s
o equivalentemente in N*s.
Questo si può osservare facilmente perché
la quantità di moto non è altro che Fdt=dp,
la forza si misura in Newton,
il Δt in secondi,
la quantità di moto si misura in N*s.
Avendo l'integrale della forza in Δt,
essendo l'impulso uguale alla variazione della quantità di moto,
sappiamo che non può esserci uguaglianze tra oggetti con unità di misura diverse,
per cui anche l'impulso si misurerà in N*s.
Facciamo un breve esempio sull'impulso.
Un corpo di materiale di massa m=2 kg
che si muove con velocità vi = 3 metri al secondo,
esso urta contro il muro
e torna indietro con velocità pari alla velocità iniziale ma di segno opposto,
per cui la velocità finale (vf) = v iniziale (vi).
Vedremo successivamente cosa avviene durante l'urto,
adesso stiamo considerando soltanto le quantità appena definite.
Calcolare la variazione della quantità di moto e il valore medio della forza agente
se consideriamo che sia stata applicata in Δt=1ms.
Il tempo indicato con 1ms, come visto nella prima lezione,
come osservato nella prima lezione sull'introduzione alla fisica,
non è altro che 10 alla -3 secondi
ovvero un tempo estremamente breve.
La variazione dell'impulso non è altro che la massa (costante)
moltiplicata per la variazione della velocità (velocità finale meno la velocità iniziale) per definizione.
Siccome la velocità finale coincide con quella iniziale ma con segno opposto
essa sarà pari a -2mvi.
Il modulo della variazione della quantità di moto è pari a 12Ns
(abbiamo definito il Newton al secondo come unità di misura della quantità di moto)
ed ha la direzione e il verso uguale alla velocità finale
(-vi è la velocità finale).
L'impulso della forza (I) risulta uguale a Δp
per cui avremo che la forza non è altro che ∫F dt.
Per calcolare la forza media (Fmed)
vedremo in matematica che questo integrale
equivale alla forza media per l'intervallo di tempo in cui essa è applicata,
non stiamo considerando la forza applicata durante tutto il tempo
ma la forza media.
La forza media, sostituendo il Δt con il suo valore ,
è uguale a -2mvi/Δt che è uguale a 12 * 10 alla 3 N.
Infatti 2mv1 è uguale a 12N/s, Δt è uguale a 1 per 10 alla -3/s,
effettuiamo i calcoli e dividiamo per 10 alla -3
(che equivale a moltiplicare per 10 alla 3)
e otteniamo la forza media pari a 12 per 10 alla 3 N.
Anche la forza avrà la stessa direzione e lo stesso verso della velocità finale,
l'oggetto è partito, ha urtato un muro e si è allontanato di nuovo.
(il muro è durato molto poco, pochi secondi o anche meno).
Avremo che la variazione della quantità di moto
ha lo stesso verso della velocità con cui si allontana
e anche la forza ha lo stesso verso della velocità con cui si allontana.
Se il corpo sta andando in questa direzione e subito dopo va nella direzione opposta
la forza che ha subito il corpo ha la stessa direzione e verso della velocità finale.
Secondo il terzo principio della dinamica
anche il muro, l'oggetto contro cui si è urtato, ha subito una forza
perché la stessa forza media che ha subito l'oggetto l'ha subita anche il muro. Ma c'è una considerazione da fare.
Poiché il muro avrà una massa superiore alla particella che l'ha urtato avremo che l'accelerazione del muro sarà inversamente proporzionale alla massa della particella, l'accelerazione del muro è quindi nulla
e non ci sono effetti dinamici del muro stesso.