Nelle slide seguenti vedremo il moto armonico.
Il moto armonico semplice è caratterizzato da alcune particolari caratteristiche:
- la traiettoria è rettilinea, il moto sta avvenendo lungo una retta
- ha come legge oraria x(t) ovvero la posizione lungo x
uguale a una costante A (ampiezza di oscillazione e massima distanza dal punto centrale)
seno di ωt (dove ω rappresenta la pulsazione del moto)
Vedremo se sarà collegato anche alla velocità angolare
e in tal caso è la pulsazione,
t fa riferimento al tempo (di fatti parliamo di x(t))
più Φ0 (fase iniziale)
corrispondente al punto di partenza.
A seconda di come parte il punto, avremo sia Φ0 che A.
Dobbiamo calcolare (lo vedremo negli esempi in seguito) che
il punto di partenza e la pulsazione inziale
determineranno il valore di Φ0 e di A,
mentre altre caratteristiche del moto determineranno ω.
Immaginiamo un oggetto che sta oscillando,
la sua legge oraria avrà come forma x(t) = A sen(ωt + Φ0).
Osserviamo i due grafici rappresentati per capire
cosa cambia variando da un parametro all'altro.
Immaginiamo che il moto avvenga lungo l'asse delle x,
dove viene rappresentata la proiezione di ωt.
La curva del moto ω avrà ampiezza massima nel punto π/2 in un determinato periodo di tempo t,
dopodiché avrà valore nullo nel punto π
per poi assumere valore negativo nel punto 3π/2.
Ovviamente non si deve immaginare che il corpo faccia esattamente questo tipo di moto,
ma è una rappresentazione in funzione di ωt.
A questo punto avremo due moti: A = 1 e A = 2.
Il moto con A = 1, indicato con il celeste chiaro,
non raggiungerà la stessa distanza da 0 del moto con A = 2
perché l'ampiezza del moto indica
la massima distanza che si può raggiungere dal punto di equilibrio 0.
Avremo che il corpo avanza e torna indietro passando da 0
e avremo che il moto con ampiezza A=2 si sarà allontanato il doppio della distanza
del moto con ampiezza minore (A=1).
Si possono variare anche altre grandezze che sono:
Φ0 (la legge oraria con differenti fasi iniziali)
per cui avremo dalla formula precedente Φ0 = A sen(ωt).
La linea indicata in figura non è altro che la curva del seno,
essendo il seno di 0 uguale a 0, partirà da 0
dopodiché si allontana raggiunge il punto 1 a π/2,
diminuisce ancora e ritorna a 0.
Se, invece, diamo sfasamento di π/2, il punto sta partendo dalla massima estensione,
per cui se il valore di A è uno sfasamento di π/2
il punto è partito dalla massima distanza, non dall'origine come nel caso di Φ0 = 0;
la curva in questione è quella di colore rosso sul secondo grafico.
Considerando Φ0 = π
anche in questo caso il corpo partirà da 0
ma anziché andare verso le x positive andrà verso quelle negative.
A seconda della gestione dei parametri iniziali,
come l'ampiezza e la fase iniziale,
il moto subito dopo l'istante iniziale varierà notevolmente
andando verso le x negative o positive, allontanandosi più o meno dal centro.
Conoscendo la legge oraria, possiamo valutare
sia la velocità che l'accelerazione.
La velocità non è altro che il differenziale di dx(t)/dt,
calcolando la derivata di dx(t)/dt
avremo che Aω, considerando A sen(ωt + Φ0), quando facciamo la derivata
avremo Aωcos(ωt + Φ0).
Semplicemente avremo la derivata del seno e del coseno
la derivata di α(t) sarà (????????)
Per l'accelerazione avremo a(t) uguale alla derivata rispetto al tempo della velocità dv(t)/dt
Senza fare la derivata del coseno
avremo nuovamente un coefficiente pari a ω(t),
per cui l'accelerazione sarà proporzionale al quadrato della pulsazione:
-Aω quadro sen(ωt + Φ0).
Osserviamo quest'ultimo passaggio che risulta essere molto importante.
Abbiamo visto che sen(ωt + Φ0)per A non è altro che x(t),
questa equazione può essere riscritta come
- ω quadro (la pulsazione) x(t).
Tralasciamo l'ultimo passaggio dell'equazione
e osserviamo i grafici in figura
E come varia quesiti Questa è la velocità
stiamo considerando dei moti che hanno Φ0 = 0
Rappresentando graficamente lo spostamento, la velocità e l'accelerazione
dunque consideriamo soltanto il grafico di Φ0 = 0,
l'ampiezza non interessa perché le scale di v e t sono arbitrarie
(è indicata con A ma la sua dimensione non è rilevante).
Il corpo sta partendo da 0 per cui la sua distanza sarà 0
ma la sua velocità è massima.
Tutte le volte che il corpo passa per l'origine
avrà lo spostamento nullo, l'accelerazione nulla
mentre la velocità sarà massima in valore assoluto.
Siccome il corpo si sta muovendo verso le x positive
avremo la velocità massima verso la parte positiva delle x,
dopodiché la velocità diminuisce e l'accelerazione diventa negativa,
raggiunge il minimo e il massimo dell'accelerazione negativa
che si raggiunge nella massima estensione positiva.
L'oggetto si è massimamente allontanato lungo l'asse x positivo
per cui l'accelerazione sta puntando verso l'interno, mentre la velocità man mano che si avvicina al punto diventa 0,
è come se si fermasse un istante
^ massima elongazione
con l'accelerazione che punta di nuovo verso l'origine,
dopodiché il punto si riavvicina giungendo all'origine
e avremo che la velocità continua ad aumentare e diventa negativa
perché tornando verso l'origine è discorde all'asse delle x
e l'accelerazione diminuisce finché non torna all'origine.
Si ripete in maniera analoga nell'asse x negativo.
Il moto può proseguire in modo indeterminato
osservando tale comportamento tra x, v e l'accelerazione.
Ricordiamo che x = seno, v = coseno, a(t) = -seno
con dei fattori correttivi che sono proporzionali a ω quadro,
lo sfasamento tra x e l'accelerazione è dovuto al segno - che differenzia i due valori.
Anche in questo caso è possibile definire il periodo.
Abbiamo definito il periodo come il tempo necessario
per farci ritrovare nello stesso punto nel moto circolare,
possiamo fare la stessa cosa nel moto armonico.
Siccome il corpo si muove avanti e dietro
è possibile definire un intervallo di tempo T per cui esso ritorna al punto di partenza.
Il periodo T non è altro che: x(t + nT)
(questo è il caso generale),
e avremo che dopo un determinato tempo T
per n volte (può essere un valore intero qualunque)
l'oggetto ritorna nello stesso punto,
se n = 1 o n = 2 l'oggetto ritorna sempre nello stesso punto.
Dopo quale intervallo di tempo avremo che
il punto ripassa ????'
Avremo A sen(ωt + Φ0) = A sen*[ω (t + nT) + Φ0].
Sapendo che il periodo di sen e cos è uguale a 2π
avremo che ω*(t + nT) + Φ0 = ωt + Φ0 + 2nπ .
Semplificando l'equazione precedente avremo che
il periodo non è altro che 2π/ω .
La frequenza, ovvero il numero cicli
che l'oggetto sta compiendo nell'intervallo di tempo
corrisponderà all'opposto del periodo precedente: ω/2π.
Il periodo è un intervallo temporale e si misura in secondi,
mentre la frequenza si misura in Hertz.
Ricordiamo la relazione tra l'accelerazione e lo spostamento.
Abbiamo visto in precedenza che l'accelerazione era pari a ω quadro x(t),
portandolo al primo membro avremo d quadro x(t)/dt quadro = ω quadro x(t) = 0.
Si tratta della forma differenziale dell'equazione oraria, risolvendola la soluzione sarà A sen(ωt + Φ0).
L'ultima cosa da vedere in questa lezione è
come si collega il moto circolare uniforme con il moto armonico.
Se esprimiamo il moto circolare uniforme in coordinate cartesiane,
consideriamo l'origine nel punto centrale della circonferenza,
Avete che le coordinate non vi state facendo questo
Composizione
ad ogni punto sarà associata una x e una y e avremo:
x(t) = rcos(θ(t))
(bisogna sfruttare le relazioni trigonometriche,
infatti il coseno non è altro che il seno sfasato di π/2.
Sapendo θ t come varia in funzione del tempo
perché sappiamo che il moto circolare uniforme si muove con ωt + θ0 .
Invece y(t) non è altro che rsen(θ(t))
C'è scritto Se cambiamo tutti lo mettiamo non hai capito
Risulta evidente dalle espressioni appena riportate,
avendo un moto circolare uniforme lungo una circonferenza,
che se proiettiamo i due moti lungo gli assi x e y
avremo due moti armonici semplici
ma lungo l'asse x sarà sfasato di π/2
per cui avremo una fase differente.
Un altro modo per vedere il moto circolare uniforme è
la sovrapposizione di due moti armonici lungo i due assi.