In questa lezione parleremo della cinematica rotazionale
della descrizione del moto circolare, uniforme e non, in coordinate polari.
Nel seguito verranno descritti i moti armonici semplici e le loro caratteristiche,
al termine verranno collegati il moto circolare e i moti armonici.
Inizieremo dalla cinematica rotazionale e dalle grandezze angolari
Se descrivessimo il moto circolare in coordinate polari
(al punto P non sono più associate le grandezze x, y, ovvero le posizioni lungo x e y,
ma ad ogni punto P è associato il raggio o distanza dal centro e l'angolo θ rispetto a x.
Siccome nel moto circolare uniforme r sarà costante
basterà osservare la variazione di θ
per descrivere univocamente la legge oraria del moto lungo la circonferenza.
L'angolo θ non è altro che il percorso lungo la circonferenza, s, diviso il raggio r,
ovvero l'angolo θ in radianti per definizione.
Siccome è importante considerare l'ordine degli angoli
altrimenti non sapremo come descrivere la legge oraria,
diremo che l'angolo θ sarà positivo nel senso antiorario ed aumenterà,
mentre nella direzione opposta sarà negativo e diminuirà.
Dobbiamo definire le grandezze angolari simili
alle grandezze scalari viste in precedenza.
Possiamo definire la velocità angolare media in maniera analoga
alla definizione di velocità media.
Se il corpo è in t0 nel punto P(r, θ0)
e in t1 in P(r, θ1) avremo che
la velocità angolare media (ricordiamo che la velocità angolare viene indicata con ω
e la lettera m come pedice per indicare i valori medi)
è data da: θ1 - θ0/t1 - t0 e avremo Δθ/Δt .
Come nel caso lineare della velocità media,
essa è indipendente dal moto nei tempi intermedi,
ad esempio se il corpo fosse andato avanti e indietro
e tornato nello stesso punto in un determinato intervallo Δt,
la velocità media complessiva risulterebbe nulla.
E' importante definire una quantità
per ogni istante di tempo T ed è possibile farlo
definendo la velocità angolare istantanea.
La velocità angolare istantanea, indicata con ωi
(in futuro per parlare della velocità angolare indicheremo ω),
è uguale al limite per Δt che tende a 0
di θ(t + Δt) - θ(t)/Δt.
Essa è il rapporto incrementale che abbiamo fatto per ogni passaggio
dalla quantità media a quella istantanea
e dunque è l'angolo θ (t + Δt)
meno l'angolo θ(t), diviso l'intervallo di tempo Δt.
Facciamo tendere Δt a 0 e avremo
la forma differenziale che dθ/dt.
Abbiamo nuovamente valutato la velocità angolare istantanea.
La velocità angolare istantanea è la rapidità di variazione della posizione angolare
occupata dal punto con il tempo,
ovvero la velocità con cui varia la posizione angolare.
Come osservato nell'esempio sulla velocità lineare,
la velocità è positiva se concorde alla direzione dell'asse,
è negativa se discorde e va nel verso opposto.
Data la nostra convenzione, essa sarà positiva se il moto avrà
verso concorde alla nostra convenzione degli angoli crescenti
e negativa se è discorde.
La velocità sarà positiva se il corpo si muove in senso orario,
negativa se si muove in senso antiorario.
La velocità angolare si misura in radianti al secondo.
La velocità angolare non si misura in metri al secondo ma in radianti al secondo
perché il numeratore dell'equazione evidenziata è un angolo e non una lunghezza
per cui avremo Δθ/Δt.
Possiamo definire in modo analogo anche l'accelerazione angolare .
Se il corpo è in t0 nel punto P(r, θ0)
con velocità istantanea pari a ω0
e in t1 in P(r, θ1) con velocità ω1
(i punti sono sempre caratterizzati dallo stesso raggio, non abbiamo una variazione di esso
perché il corpo si muove lungo la circonferenza)
avremo l'accelerazione angolare media (indicata con l'angolo α):
ω1 - ω0/t1 - t0
corrispondente a Δω/Δt.
Essendo una quantità media,
essa è indipendente dalle velocità intermedia
e dipende, invece, da come si è svolto il moto all'interno
(dipenderà solamente dagli estremi di esso)
ovvero dalla velocità iniziale, da quella finale e il tempo di percorrenza impiegato.
Possiamo calcolare αi (non è ω ma α)
uguale al limite di Δt che tende a 0 di
ω(t + Δt) - ω(t)/Δt
da cui otterremo il limite di Δt che tende a 0 di Δω/Δt,
come indicato in precedenza, e avremo dω/dt
corrispondente alla forma differenziale.
L'accelerazione angolare istantanea è la rapidità di variazione della velocità angolare con il tempo.
Siccome la velocità angolare sta variando con il tempo,
è possibile definire un'accelerazione angolare che ne determina come e quanto sta variando.
Il suo segno è positivo se la velocità aumenta e negativo se essa diminuisce,
non è correlato con la direzione del moto,
analogamente a quanto abbiamo visto nel moto lineare,
dove l'accelerazione non era positiva o negativa a seconda del verso rispetto all'asse x
ma dipendeva dall'aumentare o diminuire della velocità).
Come si misura?
Visto che ω si misura in radianti al secondo
facendo dω/dt misureremo in radianti su secondo quadro.
Il moto circolare uniforme ha un'accelerazione angolare costante pari a 0 (α = 0)
e quando parlavamo della mancata variazione del modulo della velocità
nel moto circolare uniforme
intendevamo che l'accelerazione angolare è costante
perché non varia il modulo della velocità lungo il moto.
Come possiamo caratterizzare le equazioni del moto?
Siccome le equazioni differenziali sono identiche
a quelle che abbiamo visto in precedenza per il caso lineare,
cambiando il nome delle variabili a quelle considerate in precedenza
otterremo le equazioni del moto della la cinematica rotazionale.
Considerando il caso con accelerazione costante,
il più generale nel caso lineare,
avremo che le equazioni orarie risultano:
- θ(t) = θ0 (l'angolo di partenza) + ω0t (ω0 è la velocità di partenza dell'oggetto)
+ 1/2αt quadro (α rappresenta l'accelerazione dell'oggetto
per cui α(t)=α=costante).
Stiamo partendo da t0 = 0, dal tempo 0.
- ω(t) = ω0 (velocità angolare iniziale) + αt.
Tutte le relazioni che abbiamo visto in maniera lineare
si riportano uguali per la cinematica rotazionale,
nel caso di accelerazione costante.
Inoltre avevamo la relazione tra la parte spaziale e la velocità
senza il tempo, ricavata nel moto lineare,
vale lo stesso nel caso angolare sostituendo, però,
le grandezze angolari a quelle lineari.
Avremo che 2 volte l'accelerazione angolare moltiplicata per la variazione dell'angolo
è pari alla velocità in 1 al quadrato meno la velocità in 0 al quadrato.