Osserviamo con un esempio quando è possibile applicare
la trasformazione da un sistema di riferimento all'altro.
Consideriamo una barca che deve attraversare un corso d'acqua, largo d,
che si muove con velocità vtr costante parallela alla riva (mostrato in figura).
La barca può muoversi rispetto alla terra ferma
con una velocità vb e parte dal punto A.
Osserviamo dove arriva la barca muovendosi con una velocità vb.
Il sistema solidale con l'acqua sarà il sistema mobile S'
(avremo S come sistema solidale con la terra ferma,
mentre S' sarà il sistema solidale con l'acqua)
e la velocità di trascinamento avrà solamente la componente lungo
(ȋ è il versore lungo l'asse x)
per cui la velocità di trascinamento sarà uguale
al modulo della velocità di trascinamento per il versore lungo l'asse ȋ, rispetto a S.
La barca parte con velocità rispetto al sistema in movimento S'
parallela all'asse x':vb.
Siamo nel sistema solidale con l'acqua,
la barca si stacca dal molo
e si muoverà con una velocità par a vbĵ.
Visto che gli assi y e x' sono paralleli,
al massimo si trascineranno,
il versore ĵ avrà sempre la stessa direzione.
per cui vb non che altro che il modulo della velocità della barca per ĵ.
La velocità relativa alla sponda (sistema S) sarà:
vf = vb (velocità della barca) + vtr (velocità di trascinamento).
Nel sistema solidale con l'acqua ci sarà solo una velocità, ovvero quella della barca che prosegue diritta,
mentre nel sistema solidale con la terra la barca viene trascinata dall'acqua.
Nel sistema S avremo che la velocità finale sarà
la velocità della barca più la velocità di trascinamento dell'acqua
e potremo scrivere le componenti ȋ (lungo x) e ĵ(lungo y) come vbȋ e vbĵ.
La barca non toccherà terra nel punto B
come farebbe in assenza della corrente,
ma nel punto C.
Il tempo impiegato per arrivare sull'altra sponda,
poiché il moto è uniforme lungo x, deve attraversare uno spazio d,
essendo la velocità costante, sarà d/vb.
La posizione lungo l'asse x toccata dalla barca
quando giunge sull'altra sponda risulta:
xc = vtr per tc,
ovvero la velocità lungo y moltiplicato il tempo per giungere dall'altro lato.
In tal caso la barca non giungerà in B ma in un punto C.
Come potremmo far giungere la barca in B? La velocità vb dovrebbe avere una componente lungo x che annulli la componente della velocità di trascinamento.
In questo caso se volessimo far arrivare la barca dall'altro lato dell'acqua
dobbiamo dare una componente della velocità che sia parallela all'asse x.
Considerando l'angolo θ (individuato in figura) avremo che
la velocità finale sarà pari alla velocità della barca (inclinata di θ)
e alla velocità di trascinamento dell'acqua rimasta invariata:
vbcosθĵ (la componente che ci porterà sull'altra sponda in quanto parallela all'asse y)- vbsenȋ
Come fatto in precedenza, considerando l'asse x positivo in questa direzione,
scomponendo lungo l'asse x
avremo che |vb|senθ tenderà ad andare verso l'asse negativo delle x
più un trascinamento di ȋ (uguale alla fase precedente).
Affinché si vada di fronte al punto di partenza A, dovremmo imporre che
|vb|senθȋ sia uguale a |vtr|ȋ.
Le due componenti si semplificano (perché al posto di |vtr|ȋ sostituiamo |vb|senθȋ).
Procedendo in questo modo quando arriviamo dall'altro lato
non avremo uno spostamento del punto di arrivo.
Avremo che la velocità finale sarà
minore della velocità vb (con cui ci stavamo muovendo).
Il tempo per giungere sull'altro lato della sponda sarà:
d/|vb|cosθ.
La velocità che abbiamo adesso è inferiore
al caso in cui fossimo andati diritti approdando a destra di B
ma in ogni caso sarebbe stato minore come tempo.
Se manteniamo costante la velocità e cambiamo l'angolo
impieghiamo un tempo maggiore per giungere sull'altra sponda
ma arriviamo precisamente in quel punto
perché cosθ è compreso tra 0 e 1