In questo paragrafo descriveremo il moto circolare uniforme.
Il moto circolare uniforme avviene lungo una circonferenza
con modulo della velocità costante.
Come evidenzia il grafico illustrato
la direzione della velocità cambierà in ogni punto,
per cui la direzione del vettore varia,
l'accelerazione sarà diversa da 0
e possiamo calcolare anche quanto essa varia:
a = dv/dt ≠0
Vedremo inseguito perché la direzione del vettore verso dell'accelerazione?
diretta verso l'interno.
Per calcolare l'accelerazione istantanea
consideriamo i due triangoli (evidenziati) formati dai raggi, Δr
e quello formato dalla velocità e Δv.
Per calcolare l'accelerazione istantanea
consideriamo i due triangoli, con un colore simile,
essi sono isosceli perché il raggio è costante
perché ci stiamo muovendo lungo una circonferenza.
Anche le velocità hanno lo stesso modulo
trattandosi di un moto circolare uniforme (uniforme = velocità costante in modulo),
i triangoli sono entrambi isosceli e hanno l'angolo al vertice congruente.
Per dimostrare quanto detto, osserviamo il grafico in basso:
quello in verde è l'angolo θ, in viola abbiamo l'angolo di 90°,
in azzurro l'angolo θ - 90°
(anche l'angolo opposto a quello in azzurro ha valore θ-90°)
e in marrone l'angolo θ+90°.
Tracciando la tangente a r2, avremo un angolo di 90°
e un angolo pari al valore di θ (θ+90°- 90°= θ).
Si ottengono così due angoli che hanno l'angolo al centro pari a θ
con la seguente relazione Δr/r = Δv/v.
Siccome sono triangoli isosceli simili avremo questa relazione
tra le dimensioni dei lati.
Passiamo alla definizione di accelerazione media.
Essa è pari Δv/Δt,
sostituendo la relazione calcolata precedentemente, Δv/v =Δr/r
sostituendo Δv con vΔr/r.
Per intervalli di tempo molto piccoli, Δt che tende a 0,
abbiamo che Δr può essere approssimato con la parte di traiettoria circolare
(anziché considerare la parte piatta del triangolo,
possiamo approssimarlo con la parte ricurva),
ed è ancor più evidente quanto minore è l'intervallo che stiamo considerando.
Se consideriamo un intervallo estremamente piccolo, Δt che tende a 0,
abbiamo che Δr può essere approssimato con la parte di traiettoria circolare
per cui Δr/Δt può essere approssimato
con la parte circolare, Δr/Δt
che corrisponde alla velocità.
Stiamo effettuando un'approssimazione
per un intervallo di tempo molto piccolo.
Ripetiamo tale operazione per passare dalle quantità medie alle quantità istantanee.
L'accelerazione media non è altro che
la variazione della velocità su Δt
che può essere approssimato a v quadro/r
(v quadro/r risulta perché avevamo v/r,
e approssimando Δr/Δt come v si ottiene v quadro/r.
Il valore ottenuto è quasi uguale a quello dell'accelerazione media
ma nel caso dell'accelerazione istantanea in cui abbiamo il limite per Δt che tende a 0
per cui tale approssimazione è valida,
il valore è v quadro/r.
Quando abbiamo un moto circolare uniforme abbiamo un'accelerazione
di modulo pari a v quadro/r che serve per far cambiare costantemente la direzione
della velocità lungo la traiettoria del punto.
Una considerazione che possiamo fare è se l'espressione rappresentata è valida.
Consideriamo che l'accelerazione a non è altro che v quadro/r.
Sappiamo dimensionalmente che il modulo della velocità si misura su metri al secondo,
in questo caso considerato al quadrato,
mentre r si misura in metri,
possiamo notare che
il modulo dell'accelerazione, espresso come v quadro/r
è dimensionalmente un'accelerazione.
Per cui non abbiamo commesso alcun errore nell'analisi precedente.
Questo, come dicevamo nell'introduzione alla fisica,
è un passaggio utile da fare
perché è utile verificare se il risultato iniziale è
dimensionalmente corretto con quello che ci aspettiamo.
Un'altra cosa che ci interessa è calcolare la direzione e il verso dell'accelerazione.
Sappiamo che il raggio è perpendicolare alla velocità,
la variazione del raggio è parallela alla velocità
(la velocità non è altro che Δr/Δt)
e la variazione della velocità assume la direzione dell'accelerazione.
A questo punto abbiamo che r è perpendicolare a v,
dobbiamo calcolare se a è perpendicolare a v.
E' possibile fare ciò considerando delle approssimazioni:
nella prima figura vengono evidenziate le due velocità, v(t) e v(t+Δt)
poi abbiamo l'angolo θ e l'angolo 90°-θ/2.
Man mano che il Δt diventa sempre più piccolo,
la distanza tra i due vettori si riduce perché il Δt si riduce
e l'angolo θ tende a diventare sempre più piccolo.
Quando Δt è infinitesimo, l'angolo θ tra le due velocità successive
tende ad essere pari a 0.
Al diminuire dell'angolo θ, l'angolo alla base del triangolo aumenta
e l'angolo diventerà di 90°.
Essendo l'accelerazione pari a Δv/Δt,
la direzione dell'accelerazione è data dalla direzione di dv
e avremo che l'accelerazione è perpendicolare alla direzione della velocità.
In questo modo abbiamo ottenuto anche l'ultimo passaggio
perché sapevamo già che la direzione della velocità era
perpendicolare alla direzione della traiettoria .
Possiamo notare che l'accelerazione e il raggio hanno la stessa direzione,
ma avendo direzione radiale è direzionato in verso opposto.
Possiamo vedere che se il raggio è orientato in un modo
l'accelerazione (Δv) è orientato in direzione opposta.
Quindi se il raggio è direzionato in un modo, l'accelerazione è direzionata nella maniera opposta.
Abbiamo osservato per il moto circolare uniforme
che modulo, direzione e verso ha l'accelerazione
spiegando la prima immagine che abbiamo visto,
ovvero che l'accelerazione era rivolta verso l'interno,
verso il centro della circonferenza.
Riassumendo,
in un moto circolare uniforme,
con una particella che si muove con velocità costante in modulo,
l'accelerazione è pari a:
- modulo pari a v quadro su r
- direzione radiale ed è orientata verso il centro della circonferenza
Tale accelerazione viene chiamata accelerazione centripeta.
Nel caso in cui abbiamo anche la variazione del modulo della velocità,
non avremo più un moto circolare uniforme
bensì un moto curvilineo vario (come possiamo vedere in figura).
Dovremo generalizzare le analisi che abbiamo fatto precedentemente.
Possiamo scomporre l'accelerazione in due componenti,
una tangenziale, at
ogni volta che parleremo della doppia componente (an, at)
verrà messo un pedice che indicherà quale componente dell'accelerazione stiamo considerando)
e l'altra normale alla traiettoria, an.
Se abbiamo una traiettoria curvilinea, evidenziata in blu, mentre la velocità in rosso,
avremo una componente normale alla traiettoria
e una componente tangenziale alla traiettoria.
La componente tangenziale sarà parallela alla velocità,
mentre la componente normale sarà perpendicolare alla velocità.
Nel moto circolare uniforme abbiamo osservato
la componente normale alla traiettoria di alta velocità,
invece nel moto vario avremo anche un'altra componente che,
come si evince dal grafico, tenderà a cambiare il modulo della velocità
mentre la componente normale cambia la direzione.
Componendo vettorialmente le componenti an e at
avremo la direzione dell'accelerazione totale che
non sarà perfettamente né perpendicolare né parallela alla velocità
e la direzione sarà data dal risultato della composizione delle due.
La componente della tangenziale dell'accelerazione at = d|v|/dt
(si può notare che è la variazione del modulo)
è responsabile della variazione del modulo della velocità.
Esattamente questa componente
Che sono parallele alla velocità non fa altro che cambiarmi
Il modulo
Quanto velocemente sta percorrendo il tratto di curva.
La componente normale è responsabile della variazione
della direzione della velocità.
Essa è inversamente proporzionale al raggio di curvatura locale della curva R
Vedete questa cosa qui
Mercato della circonferenza era banale quale fosse il raggio della
Una curva fatta in questo modo dobbiamo considerare il cerchio tangente
e verificare il raggio r del cerchio tangente in quel punto
se abbiamo una curva che cambia pendenza
Cambia pendenza questo viral.it
ma sarà sempre pari al raggio della circonferenza tangente alla curva in quel punto.
Esattamente pari al raggio
Potremmo riscrivere l'accelerazione totale utilizzando due versori
(i versori non sono altro che vettori di modulo unitario)
e avremo il versore ut, tangente alla curva
e il versore un, perpendicolare alla tangente.
Avremo d|v|/dt, ovvero la variazione del modulo della velocità,
mentre |v| quadro/r è responsabile della variazione della direzione della velocità.