Questa è la lezione sulla cinematica del punto materiale
e gli obiettivi saranno: la descrizione della proprietà del moto del proiettile,
la sua gittata e altezza massima
Il moto circolare uniforme verrà analizzato insieme alle sue caratteristiche
e alla definizione di accelerazione centripeta.
Verrà fatta una descrizione del moto curvilineo vario
e la definizione di accelerazione tangenziale e normale.
In conclusione verranno descritte le trasformazioni galileiane
tra sistemi di riferimento e alcuni esempi.
Nella prima parte discorreremo del moto del proiettile.
Dato il moto di una particella in un piano verticale (x-y)
con velocità iniziale v0 e una posizione iniziale nell'origine,
la cui accelerazione è quella di gravità g
verso la parte negativa dell'asse delle y.
Immaginiamo un oggetto che parte dall'origine 0
con una velocità v0 e un determinato angolo θ0 verso l'alto
nella parte indicata dalla freccia in figura abbiamo l'accelerazione di gravità verso il basso.
Come si muove l'oggetto nel piano x-y perpendicolare a terra?
Tale particella è chiamata proiettile perché viene lanciata.
Scriveremo la velocità iniziale v0 e le sue componenti cartesiane v0x e v0y.
Vedremo come evolve la velocità nel tempo
(vedremo anche la parte analitica),
la cosa interessante è vedere che l'oggetto verrà lanciato
e dividendolo nelle due componenti vedremo come varia
lungo la componente vy per arrivare all'altezza massima (hm cerchiato in figura)
raggiunta nel centro della traiettoria,
dopodiché riscenderà toccando nuovamente in suolo.
Il totale sarà la gittata e vedremo in seguito come scrivere il suo valore.
Possiamo esprimere la velocità iniziale in una componente vettoriale totale
e avremo = v0xȋ(versore lungo x) + v0yĵ (versore lungo y).
La componenti v0x sarà uguale a |v0|cosθ
(θ è l'angolo tra la velocità iniziale e l'asse x),
la componente v0y sarà uguale a |v0|senθ.
Lungo l'asse x l'accelerazione è nulla (ax = 0)
perché stiamo lanciando l'oggetto senza considerare l'attrito o altra variazione
eccetto l'accelerazione di gravità che tenderà a far cadere l'oggetto.
Come abbiamo detto nella cinematica del punto 2
i due moti lungo x e y sono indipendenti
per cui se abbiamo una variazione del moto o un'accelerazione lungo y,
esso non si riflette lungo x.
C'è solamente l'accelerazione di gravità e influisce soltanto su y
di conseguenza lungo x(t) avremo un moto uniforme
ovvero x(t) = v0xt = |v0|cosθ (che corrisponde alla componente v0x)
moltiplicato per t.
Ciò spiega come evolve lo spostamento lungo l'asse x:
vx(t) = v0x ed è costante lungo tutto il moto.
Invece, lungo l'asse y l'accelerazione è pari a quella di gravità
(ay = -g)
pertanto il moto è uniformemente accelerato
e avremo y(t) = v0yt - 1/2gt quadro
In cosa differisce questo dagli esempi fatti
nella lezione della cinematica del punto 2?
Stiamo partendo dall'origine per cui y0 = 0
che non è altro che la formula utilizzata in precedenza
per valutare la legge oraria nel moto uniformemente.
Possiamo scrivere |v0|senθ0t (ovvero la componente velocità per il tempo)
-1/2gt quadro,
tale espressione indicherà la variazione della velocità lungo l'asse y
e avremo vy(t) = v0y - gt.
Lungo l'asse x il moto sarà uniforme,
mentre lungo l'asse y esso sarà uniformemente accelerato
verso la parte negativa delle y.
In tal modo conosciamo entrambe le componenti, r e v,
ma anche l'accelerazione, nulla lungo l'asse x e pari a -g lungo l'asse y
per cui possiamo descrivere completamente il moto.
La componente v0x è mantenuta costante lungo tutto il moto,
mentre v0y cambia continuamente (come visto
parlando della cinematica, punto 2, per l'oggetto lanciato in aria che torna indietro).
Possiamo osservare in figura che la traiettoria
verso l'alto, dopodiché decresce
diventa nulla e poi decresce e tocca terra con un verso opposto a quello di partenza.
Calcoliamo numericamente tali parametri
cominciando dalla tipologia di traiettoria .
La traiettoria del moto possiamo esprimerla
conoscendo x(t) e y(t), calcoliamo la t della x(t),
che risulta essere l'equazione più semplice in quanto lineare con la velocità,
dopodiché la sostituiamo a t.
Partendo da x(t) = x = v0xt avremo che t = x/v0x,
sostituendo (t= x/v0x) avremo y = v0y x/v0x - 1/2g(x/v0x)al quadrato.
Quando consideriamo v0y/v0x dobbiamo ricordare che
v0y è senθ mentre v0x è cosθ,
per cui sen/cos non è altro che la tangente di θ0
moltiplicato per x - 1/2 g x al quadrato
fratto v0 x, ovvero fratto v0 cosθ0 al quadrato.
La traiettoria è una parabola perché abbiamo che
y è in funzione di x quadro.
Abbiamo visto nelle lezioni precedenti il moto uniformemente accelerato
era lo spostamento in funzione del tempo ad essere una parabola,
in questo caso si tratta della traiettoria e non è in funzione del tempo
ma è y in funzione di x, ovvero il punto dove passa il punto materiale.
La traiettoria del moto è una parabola passante per l'origine con concavità verso il basso.
Anche se la figura di riferimento sembra un cerchio schiacciato,
su di esso avremo y in funzione di x che corrisponde ad una parabola
dobbiamo calcolare il punto di altezza massima e la gittata
La gittata R è la distanza raggiunta dal proiettile
lungo l'asse x sino a che esso non raggiunga la quota di partenza.
Abbiamo lanciato un oggetto con una velocità v0 e un angolo θ,
quello che interessa capire è dopo quanto tempo l'oggetto raggiunge il suolo,
e per questa condizione y(t') = 0.
Avremo y(t') = 0 = |v0|senθt' - 1/2gt'al quadrato.
Per risolvere l'equazione mettiamo in evidenza t' e avremo come prima soluzione 0 (perché parte da 0),
l'altro t' è uguale a 2|v0| sen θ0/g.
A questo punto sappiamo che dopo 2|v0|senθ/g l'oggetto ha di nuovo toccato terra,
ora bisogna capire dove è giunto il proiettile,
se è stato lanciato un oggetto in questo modo possiamo sapere
quanto spazio ha percorso prima di ritornare al suolo.
A questo punto abbiamo che x(t') = R (la gittata che stiamo cercando) = |v0|cosθt' ,
moltiplichiamo 2v0senθ0/g per cosθt',
con la sostituzione avremo 2v0 quadro senθ0cosθ0/g;
se consideriamo la relazione esistente tra 2senθ0cosθ0 che ci dà sen2θ0,
la gittata sarà uguale a |v0|quadro sen2θ0/g.
Resta calcolare l'altezza massima.
L'altezza massima (hm) viene raggiunta dal corpo
quando la componente della velocità lungo l'asse y è nulla
ovvero quando vy(t'') = 0.
Come nell'esempio della lezione sulla cinematica 2
abbiamo l'altezza massima quando il corpo non ha più v0y,
quando vy(t'') = 0 avremo|v0|senθ0-gt'' (ovvero come varia la velocità)
da cui ricaviamo t'' = |v0| senθ0/g.
Dopo questo tempo, il moto non sale più
e avremo raggiunto l'altezza massima.
Lo sostituiamo nuovamente e avremo y(t'') = hm
e potremo calcolare |v0|senθ0t'' - 1/2gt'' al quadrato.
A questo punto al posto di t'' possiamo sostituire il valore che abbiamo calcolato precedentemente
e avremo il quadrato di v0senθ0/g - 1/2g
da cui otterremo |v0|senθ0 al quadrato/g quadro.
Il risultato dell'altezza massima sarà pari a |v0|senθ0 al quadrato/2g.
L'altezza massima dipende sia dall'angolo con cui la lanciamo, attraverso il seno,
sia dalla velocità con cui la lanciamo
La distanza percorsa lungo l'asse x quando si giunge all'apice del moto è:
x(t'') = |v0|cosθ0t'',
sostituendo a t'' il valore corrispondente (|v0|senθ0/g)
avremo |v0|quadro senθ0cosθ0/g
Utilizzando la formula 2senθ0cosθ0 = sen2θ0
rimane 1/2|v0|al quadrato sen2θ0/g.
Osservando la formula di R vedremo che
R = |v0|quadro sen2θ0/g,
per cui l'altezza massima viene raggiunta a metà della gittata totale.
Questa tipologia di moto è sempre fatto in assenza di attrito,
in caso contrario il corpo si muove in maniera diversa.
Nel caso analizzato l'unica accelerazione è quella dovuta alla gravità,
è parallela all'asse y ed è rivolta verso le y negative.