Abbiamo caratterizzato parzialmente alcuni moti lineari
e abbiamo fatto degli esempi, come quello di caduta libera.
Adesso tentiamo di generalizzare
(questa è una cosa che faremo sempre in fisica,
partendo da un esempio specifico fino a generalizzarlo).
Abbiamo visto solamente i moti lineari ma
se abbiamo un moto nello spazio,
non basterà avere i moti in un'unica direzione
e sarà necessario generalizzarlo in più dimensioni.
In questo paragrafo faremo un'introduzione al moto in più dimensioni.
Come abbiamo visto inizialmente, possiamo indicare
lo spostamento di un punto materiale lungo la traiettoria
indicando un vettore spostamento.
Se al tempo 0 il punto è nella posizione evidenziata in figura
e al tempo t1 è nella seconda posizione cerchiata sempre in figura,
la variazione del vettore spostamento sarà Δr.
Possiamo osservare che l'oggetto non segue la traiettoria
perché stiamo considerando solamente il punto iniziale e quello finale.
Avendo un moto in x e in y
e lo stiamo descrivendo tramite un vettore spostamento,
valutiamo un Δr che indica la differenza tra r(t1) e r(t0).
In tal modo possiamo calcolare la velocità media
in maniera analoga a quella precedente
ma invece di essere uno scalare in quanto ci stavamo muovendo lungo un'unica direzione,
avremo un vettore (ottenuto dal rapporto di un vettore e uno scalare)
che avrà la direzione del vettore stesso.
Il verso della velocità media dipenderà, se positivo o negativo,
(Δt è sempre positivo perché stiamo considerando tempi crescenti)
dalla direzione e dal verso del vettore spostamento.
Dati i punti r(t0) e r(t1) e due raggi vettori
possiamo calcolare il vettore spostamento Δr che congiunge i due vettori
e non segue la traiettoria ma è interessato soltanto allo stato iniziale e finale.
A questo punto possiamo calcolarci la velocità media secondo la definizione
In modo analogo a quanto effettuato precedentemente per lo scalare
possiamo calcolare la velocità istantanea (si tratta di un vettore):
lim Δt che tende a 0 della vm
e avremo il limite di Δt che tende a 0 di Δr/ Δt
da cui otterremo la derivata in funzione del tempo del raggio vettore (drt).
La direzione della velocità istantanea in un punto della traiettoria
è quella della tangente in quel punto alla traiettoria.
Abbiamo visto che la direzione della velocità media è pari a Δr.
Come si comporta il Δr per Δt che tende a 0?
La direzione della velocità istantanea in un punto della traiettoria
è quella della tangente in quel punto.
Consideriamo i seguenti tre grafici con Δt1> Δt2> Δt3 praticamente infinitesimo
Questo è il caso visto in precedenza,
abbiamo Δr e Δt1
e una velocità media parallela a Δr.
Ma mano che si stringe la descrizione dell'andamento della curva diventa sempre più esatta
perché l'approssimazione tra Δr e la traiettoria seguita diventa migliore.
Quando Δr è infinitesimo
(Δr/Δt è uguale alla velocità istantanea)
l'angolo tra due vettori diventa nullo
e la velocità sarà tangenziale alla traiettoria tenuta dal punto.
Possiamo fare la stessa cosa con l'accelerazione.
Consideriamo l'accelerazione media pari a Δv/ Δt
Se consideriamo la velocità v1 nel punto 1, che è tangenziale alla curva
avremo v1 e v2, per valutare il Δv
poniamo nello stesso punto v1 e v2 e facciamo partire un vettore
che va verso l'interno, ovvero da v1 a v2.
In questo modo avremo il Δv che avrà la direzione dell'accelerazione media.
Possiamo ripetere quanto svolto con la velocità istantanea anche con la velocità media
e calcolare l'accelerazione istantanea:
ai vettoriale = lim Δt che tende a 0 di am
e avremo che lim Δt che tende a 0 di Δv/ Δt è uguale dv/dt (sempre vettore, mentre prima era uno scalare).
Un'altra cosa molto utile, dopo aver definito la velocità e l'accelerazione scalare,
è il moto nel piano.
La cosa più utile sarebbe descrivere il moto lungo la traiettoria
usando le due coordinate cartesiane.
Il moto in 2 dimensioni può essere descritto come
due moti indipendenti lungo due assi ortogonali.
se consideriamo x e y, possiamo dividere il moto di P lungo la traiettoria
nel moto di py lungo y e nel moto di px lungo x.
Ogni cambiamento lungo l'asse x non modifica il moto lungo l'asse y e viceversa.
Possiamo scomporre il vettore posizione r(t) in: rx(t)ȋ
(ȋ è il versore parallelo all'asse x)
+ ry(t) (ĵ è il versore lungo l'asse y).
Riassumendo avremo: rx(t)ȋ + ry(t)
e possiamo scomporre r(t) in queste due componenti.
Sono presenti due quantità scalari e altre due vettoriali.
Possiamo descrivere il moto del piano P lungo le due componenti,
è come se avessimo due corpi indipendenti che si muovono lungo x e y seguendo Px e Py.
Possiamo valutare la velocità istantanea vt = dr(t)/dt
scomponendola in due termini
(così come è possibile scomporre r(t) in rx e ry)
e avremo v(t) = vx(t)ȋ+ vy(t)ĵ.
Possiamo ripetere l'operazione con l'accelerazione istantanea
e avremo a(t) = dv(t)/dt
che scomponiamo in dvx(t)ȋ+ dvy(t)ĵ.
Anche in questo caso avremo che l'accelerazione istantanea
non è altro che l'accelerazione lungo x e y nel tempo
moltiplicati per ȋ e per ĵ rispettivamente a(t) = ax(t)ȋ + ay(t)ĵ.
Le componenti lungo x e y evolvono indipendentemente.
Per realizzare i moti nel piano adopereremo le stesse regole
utilizzate per i moti lungo gli assi,
considerando che ci sono le due componenti che evolvono indipendentemente.
Le definizioni di velocità descritte nella scorsa lezione
le abbiamo generalizzate e le abbiamo applicate a determinati moti,
come il moto uniforme e il moto uniformemente accelerato.
Dopodiché abbiamo analizzato alcuni esempi, come quello di caduta libera
del moto uniformemente accelerato di cui abbiamo esperienza tutti
nell'atmosfera terrestre perché
essendo vicini alla terra, se facciamo cadere qualche oggetto
esso prenderà velocità verso il basso.
Infine abbiamo osservato anche il moto nel piano
perché potremmo avere dei moti più complessi di quello lineare
con due componenti che si possono scomporre lungo i due assi.