Il moto uniformemente accelerato è stato descritto con accuratezza
perché è utile a spiegare una cosa che succede sempre in natura
ovvero la caduta libera.
Osservare la slide, anche se è molto schematizzata,
in basso c'è la terra.
Un corpo in caduta libera (a prescindere dal suo stato di moto iniziale)
in prossimità della superficie terrestre sente un'accelerazione costante g
(trascurando l'attrito dell'area),
detta accelerazione terrestre, diretta secondo la verticale
e verso la superficie terrestre con un valore g = 9,8 m/s quadro.
Se consideriamo un asse y positivo verso l'alto, g sarà diretta verso il basso
e il corpo, se lasciato libero di cadere, tende ad accelerare verso il basso.
In tutta la notazione successiva considereremo sempre vero "trascurando l'attrito dell'aria",
non considereremo per ora tale fase perché verrà spiegata successivamente
insieme alla dinamica e vedremo cosa succede.
Le altezze saranno positive, considerate dalla superficie terrestre verso l'alto
perché y è crescente verso l'alto.
Se lasciamo cadere un corpo ad un'altezza h e velocità nulla
considerando l'asse y positivo verso l'alto,
il corpo andando verso il basso avrà una velocità negativa.
L'equazione che abbiamo visto precedentemente
per il corpo uniformemente accelerato, possiamo ripeterla in questo caso
sostituendo ad a -g (a= -g ).
Avremo: y0 + v0yt - 1/2gt quadro,
effettuando lo spostamento vy(t) = v0y - gt,
ay = -g.
Facciamo un esempio di caduta libera.
Se abbiamo un corpo che cade da un'altezza h dal suolo
con una velocità nulla al tempo t = 0
calcoliamo il tempo impiegato th per raggiungere il suolo.
(il suolo è definito come y(th) = 0, mentre il punto di partenza avrà un'altezza h)
e la velocità raggiunta quando si trova al suolo.
Siamo in caduta libera quindi ay = -g.
Calcoliamo il sistema:
0 indica la posizione iniziale,
per y(th)=0
h è pari a 0, visto che la velocità iniziale è nulla
e -1/2 gth al quadrato
(esattamente il tempo in cui è giunto a terra)
mentre la velocità con cui giunge a terra non è altro -gth
perché la velocità con in cui è stato lasciato cadere questa oggetto è nulla.
Possiamo calcolare th dalla prima equazione:
isoliamo th al quadrato portandolo a sinistra dell'equazione
e ottenendo th al quadrato uguale a 2h/g,
calcoliamo la radice quadrata di th al quadrato che ci dà la soluzione cerchiata in figura,
ovvero th uguale alla radice quadrata di 2h/g.
Conoscendo il valore di th possiamo sostituirlo nell'espressione vy
e avremo che -g moltiplicato 2h/g
portando g dentro la radice avremo 2hg quadro/g,
semplificando numeratore con denominatore vedremo che
l'oggetto toccherà a terra con una velocità che è proporzionale alla radice
sia dell'altezza che dell'accelerazione di gravità.
Facciamo un secondo esempio di caduta libera.
In questo caso però il corpo non è lasciato cadere da fermo
ma è lanciato verso l'alto e v0y sarà positivo facendo salire verso l'alto l'oggetto
dopodiché il corpo cadrà su se stesso.
Stiamo considerando sempre il moto in una sola dimensione,
un corpo che viene lanciato verso l'alto
per poi ricadere nella traiettoria avuta precedentemente.
Dobbiamo calcolare il tempo impiegato per raggiungere la sua massima altezza tm
parte da yh raggiunge ym
raggiunge ym e riscende a ys.
Dobbiamo calcolare il tempo in cui arriva all'altezza massima (tm) e la sua posizione,
il tempo e la velocità con cui ripassa da h
e infine quando ritocca il suolo.
A questo punto riscriviamo l'equazione precedente e abbiamo che:
ym = y(tm) che corrisponde a = h + v0tm - 1/2gt quadro m
Come possiamo caratterizzare il punto di massima altezza?
Esso è il punto in cui avremo la velocità verso y positivo nulla,
immaginiamo un oggetto che sta salendo, il punto in cui si ferma
non avendo più velocità verso l'alto;
da quel momento in poi la velocità sarà in discesa aumentando in senso negativo.
Avremo che vy(tm) = 0 quando v0 - gtm = 0.
Possiamo calcolare tm ovvero il tempo che impiega per raggiungere il punto di massima altezza
dato dal rapporto tra la velocità iniziale impressa e l'accelerazione di gravità.
Più velocemente lanciamo il corpo verso l'alto
più tempo ci metterà per raggiungere la posizione massima,
il che è una cosa lineare.
Se avessimo un corpo con un'accelerazione di gravità maggiore, ad esempio su Giove,
il tempo sarebbe minore e l'oggetto cadrebbe prima.
Sostituiamo tm nell'equazione precedente
e avremo: v0 quadro h + v0 quadro/g - 1/2 gv0 quadro/g quadro,
si semplifica il primo termine e avremo 1 - 1/2
e avremo v0 quadro/2g.
In questo caso l'altezza massima è proporzionale al quadrato della velocità iniziale
e più velocemente lo lanciamo più sarà alto.
Avremo che il corpo ripassa da h
quando yh = y(th) = h
e avremo la seguente equazione: h + v0th - 1/2 gt quadro h
che corrisponde all'equazione della velocità che è lineare
se v0 - gth.
Semplificando h con h, possiamo mettere in evidenza th
e avremo (v0 - 1/2 gth) che deve essere uguale a 0,
il risultato finale sarà th = 2v0/g
e vy(th) = - v0.
Dunque il corpo impiega 2 volte il tempo percorso per salire
(il tempo per scendere e per salire è uguale poiché il tempo impiegato
per effettuare quest'operazione è il doppio di quello impiegato solo per salire)
e la velocità con cui ripassa da h è uguale a v0
ovvero pari alla velocità con cui è stato lanciato.
L'ultima cosa da vedere è con che velocità l'oggetto tocca a terra
e abbiamo ys = 0
l'equazione corrispondente è la seguente: h + v0ts - 1/2gt quadro s
e la velocità sarà pari a v0 - gts.
Possiamo ottenere ts risolvendo l'equazione di secondo grado
(quella cerchiata è una formula per risolvere l'equazione di secondo grado),
bisogna considerare il risultato negativo
perché dobbiamo avere i ts positivi
in quanto avremo 2 soluzioni delle equazioni di secondo grado
ma non ha senso considerare quella precedente con t minore di 0,
bisogna considerare sempre t maggiore di 0.
Consideriamo la soluzione positiva di questa equazione,
e sostituendola avremo la velocità con cui l'oggetto tocca a terra.