Abbiamo visto che la velocità istantanea descrive meglio il moto della velocità media
perché ce lo descrive ad ogni istante di tempo, per ogni Δt infinitesimo.
Come possiamo caratterizzare come varia la velocità nel tempo?
Un modo è l'accelerazione media.
In generale anche la velocità istantanea dipende dal tempo v(t),
che per ogni t avremo un valore diverso della velocità istantanea.
Possiamo caratterizzare ulteriormente in moto
studiando l'accelerazione media.
Come varia nel tempo la velocità istantanea?
Possiamo definire l'accelerazione media
in maniera molto simile a quello che abbiamo fatto per la velocità media,
avremo: v1 - v0/t1 - t0.
Abbiamo l'accelerazione media se al tempo t0 corrisponde una velocità v0 e un tempo t0
e al tempo v1 abbiamo una velocità v1 e u tempo t1.
Facendo il rapporto tra essi avremo di nuovo
la variazione della velocità/la variazione sul tempo.
Com'è l'unità di misura di questa quantità nuova, ovvero l'accelerazione?
Bisogna ricordare che la velocità non è altro che il metro al secondo
a questo punto dobbiamo dividere nuovamente per un intervallo temporale
e avremo m/s quadro.
Come possiamo caratterizzare il segno dell'accelerazione?
Abbiamo visto fino ad ora come si caratterizza il segno della velocità.
In questo caso il segno varia in maniera differente.
Abbiamo visto in precedenza che la velocità aumenta se andiamo verso le x più grandi
e diminuisce se andiamo verso le x più piccole,
e sarà concorde con l'asse delle x.
In questo caso il segno dell'accelerazione non è correlato
alla direzione relativa dell'asse x ma solo alla variazione della velocità.
Riguardiamo l'esempio precedente
questa volta, però, abbiamo che entrambi i moti (sia a sinistra che a destra)
sono concordi con l'asse x.
Nel punto x0 abbiamo una velocità v0 pari a 2 metri al secondo
e nel punto v1 abbiamo una velocità pari a 6 metri al secondo,
i tempi sono simili, ovvero 1 e 3.
Questi sono esempi numerici molto simili a quelli precedenti.
In questo caso possiamo calcolarci l'accelerazione media: v1 - v0/t1 - t0
e abbiamo 6 - 2/3 - 1 uguale a 2 metri al secondo quadro (m/s2).
Visto che la velocità v0 è minore di v1 e il moto è concorde all'asse x
abbiamo che l'accelerazione è positiva
perché la velocità sta aumentando.
Nel caso in cui abbiamo sempre il moto concorde all'asse x
ma v0 pari a 6m/s e v1 pari a 2m/s,
per cui il numeratore di am è minore di 0 (abbiamo 2 - 6),
l'accelerazione media avrà un segno negativo e sarà -2m/s2.
Un'accelerazione positiva vuol dire che la velocità sta aumentando,
mentre un'accelerazione negativa significa che la velocità sta diminuendo:
ad esempio se siamo in auto e passiamo da una velocità di 90 km/h a 110
c'è un'accelerazione positiva,
se passiamo da 110 km/h a 90 c'è una decelerazione e stiamo frenando
e il segno dell'accelerazione è negativo
perché sta diminuendo la velocità con cui ci stiamo spostando.
Lo stesso passaggio che abbiamo fatto dalla velocità media alla velocità istantanea
possiamo farlo dall'accelerazione media all'accelerazione istantanea.
Anche in questo caso l'accelerazione media non caratterizza tutto lo stato
ma unicamente il momento 0 e il momento 1,
se il corpo avesse fatto un moto più complicato
non avremo traccia nel valore che abbiamo dell'accelerazione media.
L'unico parametro che ci permetterebbe di descrivere meglio il moto
in maniera analoga alla velocità istantanea è l'accelerazione istantanea.
Possiamo scrivere l'accelerazione istantanea
come un'approssimazione dell'accelerazione media
valutata per una variazione di velocità sul tempo (t + Δt) - v(t)/Δt molto piccolo.
Valutando l'accelerazione media in un intervallo infinitamente piccolo
possiamo definire l'accelerazione istantanea.
Possiamo riscrivere in maniera analoga a quello che avevamo scritto precedentemente:
ai = limΔt che tende a 0 di v(t + Δt) - v(t)/Δt
ovvero limΔt che tende a 0 di Δv/Δt
Questa è la derivata prima della velocità rispetto al tempo.
Nel seguito tutto ciò che indicheremo con a sarà sempre ai
ovvero l'accelerazione istantanea.
L'accelerazione istantanea di un punto è la rapidità di variazione
della velocità del punto on il tempo,
ovvero la derivata prima rispetto al tempo della velocità v(t).
Questa è la definizione di accelerazione ed è importante
perchè ci servirà per definire tutto il moto successivo.
Un altro modo per scrivere l'accelerazione
collegandola non alla velocità ma allo spostamento,
consiste nel combinare l'espressione della velocità
con quella dell'accelerazione ottenendo:
a = dv/dt (lo abbiamo appena visto),
a questo punto abbiamo che v = (dx/dt)
quindi abbiamo che a non è altro che la derivata seconda
dello spostamento nel tempo.
Abbiamo che a è la derivata prima della velocità,
visto che la velocità è la derivata prima dello spostamento in funzione del tempo
avremo che a non è altro che la derivata seconda dello spostamento in funzione del tempo