Un modo per caratterizzare la velocità oltre la posizione
è calcolare come lo spostamento lungo una traiettoria avviene.
Un modo per caratterizzare lo spostamento è valutare la velocità
La prima velocità che possiamo considerare è la velocità media.
Nel moto di un punto materiale da 0 a 1 lungo una traiettoria lineare
si definisce la velocità media come:
x1, che è la posizione lungo l'asse x in 1,
meno x0, che è la posizione lungo l'asse x al momento 0,
diviso t1 meno t0.
Abbiamo che la velocità media è il rapporto della variazione
ovvero Δx/Δt.
Essa è indipendente da come è avvenuto il moto,
nel senso che se quest'oggetto fosse passato da 0 a 1
e poi fosse andato oltre e ritornato ad 1,
non avremo questa informazione ma sapremo soltanto
il tempo in cui è passato a 0 e il tempo in cui è passato ad 1,
per cui dipende dal tempo iniziale e finale e dalle sue posizioni iniziali e finali.
Come si misura la velocità?
Come abbiamo visto la velocità corrisponde a Δx/Δt
e sappiamo, attraverso vari esempi, che Δx è una variazione di lunghezza
la quale si misura in metri
per cui avremo che il numeratore sarà in metri
mentre Δt in secondi
quindi la velocità si misura in m/s.
Com'è il segno della velocità?
Dipende se esso è concorde o meno con l'asse delle x
ovvero se ci stiamo muovendo verso le x più grandi o verso quelle più piccole
In figura abbiamo un breve esempio:
il punto cerchiato nella prima immagine è l'origine
e avremo l'asse delle x con il verso positivo
sul quale individuiamo x0 e x1.
In merito alla loro posizione abbiamo x0 a due metri e x1 a 6 metri,
ma avremo anche dei tempi in particolare t0 = 1 secondo e t1 = 3 secondi.
L'unica cosa che ci interessa e che sappiamo è la posizione iniziale e finale,
non abbiamo altre informazioni su come si è svolto il moto.
Possiamo calcolare la velocità media come:
x1 - x0/t1 - t0,
possiamo notare che entrambi sono positivi in quanto
6 - 2/3 - 1 è uguale a 2 per cui la velocità sarà 2 metri al secondo.
In questo caso la velocità è positiva
perché si sta muovendo in maniera concorde verso l'asse positivo delle x
per cui avremo, come segnato anche nella slide, un moto concorde
nella direzione indicata dalla freccia.
Ma la velocità può avere anche segno negativo:
in questo caso viene invertita la posizione di x0 e si trova più a destra,
x0 è più grande rispetto a x1
x0 è a 6 metri e x1 a 2 metri.
Calcolando la velocità media avremo nuovamente
x1 - x0/t1 - t0,
ma in questo caso x0 sarà numericamente più grande di x1
per cui facendo la differenza avremo 2 - 6/3 - 1
e in tal caso avremo una velocità negativa, come evidenziato in figura
ovvero - 2 metri al secondo.
Si tratta di un moto discorde,
una velocità negativa vuol dire che il moto sta venendo verso le x più piccole,
stiamo andando contro la direzione positiva dell'asse x
Come abbiamo detto fino ad ora, la velocità media non descrive completamente il moto,
descrive soltanto lo stato finale e lo stato iniziale.
Se dobbiamo caratterizzare completamente un moto e studiare le cause,
non possiamo restringerci soltanto a questo tipo di informazione,
ma abbiamo bisogno di più informazioni, quella più accurata è definita velocità istantanea.
La velocità media da informazioni semplicemente sull'intervallo tempo Δt,
poi se noi calcoliamo la velocità media su un intervallo più piccolo
avremo informazioni anche sui punti intermedi,
facendo intervalli sempre più piccoli avremo l'informazione sulla velocità in tutto lo spazio.
Valutando la velocità media per un intervallo di tempo
infinitesimamente piccolo avremo la velocità istantanea.
La velocità istantanea in questo caso viene definita vi,
(spesso chiamata in seguito semplicemente v)
è quasi la velocità media nel caso in cui la x è valutata in (t + Δt),
ovvero prendendo in considerazione sull'asse del tempo
un punto (t + Δt),
la velocità istantanea sarà data da x(t+Δt) - x(t)/Δt.
Se si considera il Δt tendente a 0
si avrà che la velocità istantanea
è comparabile con la velocità media.
Per poter esprimere in maniera analitica questo concetto
possiamo scrivere che vi non è altro che il limite, per Δt che tende a 0,
di x(t + Δt) - x(t) / Δt
(come evidenziato in figura).
Tale limite può essere riscritto come il limite, per Δt che tende a 0, di Δx/Δt,
ovvero la derivata della posizione di x nel tempo Δt.
La velocità istantanea di un punto
è la rapidità di variazione della posizione occupata dal punto con il tempo,
ovvero la derivata prima rispetto al tempo della posizione spaziale x(t)
(corrisponde alla formula evidenziata in figura).
Nel seguito utilizzeremo v = vi.
In questa parte abbiamo visto la definizione di velocità media, velocità istantanea
e le sue correlazioni, su come la velocità istantanea permette
di descrivere meglio il moto istante per istante,
mentre la velocità media tiene conto solamente dell'istante iniziale e finale
e dello stato di moto di quel momento.