In questo paragrafo vedremo come funziona il prodotto vettoriale.
Dati due vettori A e B il vettore ottenuto dal prodotto vettoriale
si indica nel seguente modo: C = A x B.
Se il prodotto scalare aveva un puntino e il risultato era uno scalare,
il prodotto vettoriale viene indicato con una x,
un altro modo, si trova in letteratura, è una sorta di cappelletto
ma normalmente in tutte queste dispense verrà utilizzata sempre una x
(se dovessimo trovare in qualche articolo o libro questo indice
si tratta di un prodotto vettoriale.
Sapendo che il risultato di un prodotto vettoriale è un vettore,
avremo bisogno di definire sia il suo modulo,
sia la sua direzione, sia il suo verso.
Avremo che il modulo del vettore sarà
il modulo di C uguale al prodotto tra A per B per il seno dell'angolo contenuto.
Nella formula precedente avevamo A per B per il cos(θ),
invece in questo caso avremo A per B per il senθ
con angolo θ pari all'angolo minore tra i due vettori.
Tale modulo è massimo per 90° e nullo per 0.
Se due vettori sono perpendicolari
avremo il risultato massimo,
se i due vettori sono paralleli
il prodotto vettoriale tra due vettori paralleli è sempre nullo
perché il seno di θ con θ uguale a 0.
Nei calcoli bisogna ricordare che per θ uguale a 0
il modulo è 0 è 0 e il vettore nullo.
La direzione del vettore ottenuto dal prodotto vettoriale
è perpendicolare al piano che contiene i vettori A e B.
Se consideriamo nel piano x e y i vettori A e B
avremo che il vettore C sarà uscente o entrante nel piano,
a seconda di come si compongono i vettori.
Il verso lo si ottiene con la regola della mano destra:
allineiamo l'indice con il vettore A, il medio con B
e il pollice indicherà il verso di C.
In un grafico se abbiamo il vettore A con direzione verso l'alto
il vettore B con direzione verso sinistra, il vettore C sarà diretto verso di noi quindi uscente;
se invece abbiamo, senza torsioni (non si possono invertire le dita)
il vettore A verso il basso, il vettore B verso sinistra
il vettore C è entrante verso chi guarda.
Il prodotto vettoriale, come detto in precedenza,
non ha alcune caratteristiche tra quelle viste per la somma
ad esempio non è commutativo, infatti invertendo A e B
il prodotto vettoriale non sarà che l'opposto.
Se facciamo A x B, questo è anche semplice da guardare graficamente,
avremo C,
se facciamo B x A avremo che C sarà opposto
infatti visivamente con la regola della mano destra,
invertendo i vettori, C punterà verso la direzione opposta.
Facciamo due esempi su come calcolare il prodotto vettoriale.
Dati due vettori a, b di moduli a = 2m e b = 3m tra cui vi è l'angolo θ =45°
dobbiamo valutare i vettori a x b e bx a.
Avremo che il modulo del vettore a x b
è pari al modulo del vettore b x a
perché l'unica cosa che cambia è il verso,
infatti invertendo i due termini avremo semplicemente un - di differenza.
A questo punto avremo a x b sin θ
ovvero 2 x 3 per radice di 2/2 (che è il seno di 45°)
avremo 4,24 m al quadrato che sarà la lunghezza di a x b.
Dopodiché se abbiamo a in questa direzione e b in quest'altra
e tra essi vi è l'angolo θ,
il vettore (a x b) sarà verso l'alto
(le direzioni sono evidenziate in figura)
Se invece facciamo b x a
avremo che il vettore giallo (b x a) sarà entrante
con direzione verso il basso, verso le y negative.
Dati due vettori di modulo 3 e 5
per quali angoli il prodotto scalare risulta 7,5 e 12,99?
(si tratta di una serie di esercizi per applicare le formule precedenti)
Per quali angoli tali valori sono pari al modulo del prodotto vettoriale?
Bisogna considerare cos1 che sarà A scalare B
diviso il modulo di A per modulo di B,
se sappiamo che A scalare B è 7,5 e
a, b sono uguali rispettivamente a 3 e 5
avremo 1/2, sappiamo inoltre che il coseno di 1/2 ovvero θ1 è uguale a 60°.
Possiamo fare la stessa cosa con θ2 ed abbiamo cosθ2 uguale a
A per B diviso il modulo di A per il modulo di B uguale a
12,99 (valore che ha dato il problema) diviso 3 per 5 (pari a 15)
otteniamo che il risultato è all'incirca 3/2
e θ2 è uguale a 30°.
Abbiamo risolto per quali angoli abbiamo i valori evidenziati del prodotto scalare.
La seconda parte del problema richiedeva per quali angoli
abbiamo quei valori del modulo del prodotto vettoriale.
Questo lo possiamo ottenere facendo il rapporto tra il modulo di A per B
e i moduli di A e B.
Sapendo che il modulo di A per B non è altro che
senθ1 per il modulo di A per il modulo di B,
bisogna sostituire 7,5/3 per 5
il seno arriverà a 1/2, in questo caso bisogna usare l'arcoseno
(non l'arcocoseno come nella parte precedente)
e θ1 è uguale 30 gradi.
Ugualmente facciamo senθ2 uguale a
i vettori A per B diviso i moduli singoli A e B
in questo modo otterremo che è circa radice di 3/2
che corrisponde all'arcoseno di 60°.
Questi sono due esempi semplici per verificare la lunghezza
sia del vettore prodotto sia del prodotto scalare.