In questo paragrafo successivo
vedremo alcune caratteristiche delle nuove grandezze, i vettori.
Potete vedere in questa slide che
ci sono alcuni tipi di grandezze che sono scalari
e sono descritte completamente dal loro valore e dalla loro unità di misura.
La variazione della lunghezza di un oggetto Δx (delta x)
(imparate a conoscere il simbolo delta in greco)
che indica spesso la variazione e sarà valore finale meno valore iniziale.
Se avete ad esempio Δx= 5m si tratta di uno scalare
perché è descritto univocamente da un unico valore.
Ma non tutto è descritto univocamente da un unico valore
ci sono quantità più complesse
che hanno bisogno di più informazioni per essere completamente descritte
per questo abbiamo le quantità vettorali.
Le quantità vettoriali sono tali se vengono descritte
da un modulo, da una direzione e da un verso.
Cos'è il modulo?
Se quello evidenziato è un vettore
il modulo del vettore, che verrà indicato nel seguito come cerchiato in figura,
è la sua lunghezza.
Possiamo calcolare la sua lunghezza:
se abbiamo Vx e Vy bisogna sommare la quadratura, come in precedenza,
e il modulo di V non sarà altro che
la radice quadrata della somma in quadratura di Vx e Vy
(Vx e Vy sono le componenti rispettivamente lungo x e lungo y).
La direzione è la retta passante per il vettore
per cui se abbiamo un vettore, la direzione è descritta dalla retta passante per esso.
Infatti possiamo notare che ciascun vettore è dotato di una freccia
che serve ad indicare il verso, dove è diretto il vettore.
Dunque la proprietà vettoriale è descritta da queste tre quantità
e vedremo ora come possono essere rappresentate.
Altra cosa da notare è che il vettore verrà indicato con la freccia sopra.
Ci sono diverse notazioni nei libri,
alcuni rappresentano il vettore in maiuscolo,
altri in grassetto
e può capitare anche che il modulo del vettore non venga rappresentato in questa maniera
ma senza la freccia sopra.
Ci possono essere notazioni diverse e bisogna fare attenzione,
nelle slide si cercherà di essere sempre conseguente
per cui il modulo sarà indicato sempre in questa maniera
le componenti con Vx e Vy
e l'angolo theta (θ) con rispetto all'angolo x.
Un modo per descrivere il vettore può essere
o utilizzare il suo modulo, l'angolo e il verso
(quindi anche il segno),
oppure può essere fatto conoscendo Vx e Vy
e avremo che Vcos(θ) corrisponde a Vx
infatti se questo è theta(θ) e il modulo è la lunghezza,
basta una semplice operazione di trigonometria
e avremo che il coseno è il segmento qui sotto,
invece il seno sarà quest'altro segmento
e avremo Vy uguale a Vsen(θ).
Per i vettori, sebbene per quelli scalari sia algebra semplice,
bisogna definire alcune proprietà particolari.
Due vettori sono uguali se hanno la stessa direzione, verso e modulo.
Mentre se abbiamo due scalari essi sono uguali
se hanno lo stesso valore numerico e la stessa unità di misura
(se abbiamo una variazione di 5 m, essa sarà uguale ad un'altra variazione di 5 m),
se abbiamo due vettori, con lo stesso modulo
potrebbero avere verso opposto ed essere diversi
Oppure invece che sia così?
Questo è chiaramente diversa un vettore che abbiamo?
anche se hanno lo stesso verso, potrebbero avere direzioni diverse
Due vettori sono uguali soltanto se hanno queste tre caratteristiche
(stessa direzione, verso e modulo).
Il punto di applicazione non interessa per cui due vettori che sono identici
ma sono applicati in punti diversi cioè
sono fisicamente posti in due punti diversi degli assi cartesiani, sono uguali.
L'unico modo per definire che siano identici
è la direzione, il verso e il modulo.
Dobbiamo definire anche la somma di due vettori e le sue proprietà.
La somma dei vettori è sia commutativa (A + B = B + A)
e il risultato sarà sempre lo stesso,
che associativa ( A + B) + C
coincide con (B + C) + A
Questo può sembrare triviale ma non tutte le operazioni tra i vettori
hanno queste caratteristiche, soprattutto in analisi matematica
dove queste proprietà non sono di tutte le operazioni
ma solamente di alcune che hanno caratteristiche abbastanza "semplici".
Osserviamo il metodo grafico della somma.
Capiterà molto spesso di avere su una stessa rappresentazione grafica
due vettori e sarà utile conoscere la loro somma o differenza.
Il metodo grafico della somma consiste nel porre il vettore A
(indicato in figura con la linea nera)
partendo dall'origine,
il vettore B lo facciamo partire dal termine del vettore A.
In questo modo, facendo partire un vettore dall'origine di A
e facendolo terminare alla fine di B, avremo il vettore somma A + B.
Questo si può esprimere anche in coordinate cartesiane:
dobbiamo considerare Ay, che non è altro che la componente lungo y del vettore,
e Ax, che è la componente lungo la x del vettore,
e potremmo dire che nella presentazione cartesiana
si possono sommare le componenti.
Le componenti del vettore somma non sono altro che
le somme delle componenti dei vettori:
(Cx, Cy) = ( Ax + Bx, Ay + By).
E' importante mantenere l'ordine perché
invertendo l'ordine degli oggetti in parentesi
ci ritroveremo con un vettore diverso da quello originario
in quanto si tratta di coppie ordinate di valori.
E' importante definire anche l'opposto del vettore.
Esso è un vettore con lo stesso modulo (o lunghezza) e direzione
infatti come si evince dall'immagine i due vettori sono paralleli,
ma verso opposto (la freccia è posta nel lato diverso).
Come si definisce un opposto?
Un opposto è un vettore che se sommato da come risultato 0
Se pensate a come abbiamo fatto prima
Metodo della somma grafica
Se sommiamo questo vettore a questo qui
ci ritroveremo nell'origine perché
siamo partiti, ci siamo mossi di una tale lunghezza
e siamo tornati indietro di tale lunghezza;
siamo esattamente nell'origine di partenza.
Un'altra cosa importante, non si tratta di una caratteristica
ma di una definizione, è che
i versori o vettori unitari, sono i vettori di modulo uguale a 1
e saranno indicati con una sorta di cappello
o freccia triangolare sulla loro testa
e quindi questo verrà indicato dai vettori unitari
Un'altra cosa utile, che vedremo spesso nel seguito perché
abbiamo detto che è importante fare il delta delle varie quantità,
fare la differenza tra vettori.
Essa è pari alla somma tra un vettore e l'inverso dell'altro,
graficamente si rappresenta considerando i vettori A e B
copiamo il vettore B invertendo la freccia
e il vettore somma ovvero A-B (stiamo sommando ad A il vettore-B)
avrà la direzione e la lunghezza coincidente con il vettore rosso evidenziato in figura.
Dunque vedremo che il vettore A-B
sarà uguale al vettore che parte da B e congiunge la parte iniziale di A
nel caso in cui B ed A abbiano la stessa origine.
Come vedremo spesso nelle prossime slide
quando dovete fare una differenza tra due vettori
il vettore risultante non sarà altro che il vettore che congiunge i due punti.
Fino ad ora abbiamo definito queste quantità che sono vettori e scalari,
come si comportano tra di loro? Possiamo comporre un vettore e uno scalare?
Di certo non possiamo sommarli perché sono diversi,
ma possiamo fare un prodotto e moltiplicare uno scalare per un vettore,
il vettore risultante avrà la direzione del vettore
e il modulo dato dal prodotto del modulo del vettore per lo scalare.
Il verso sarà concorde al vettore se lo scalare è positivo,
sarà discorde se lo scalare è negativo.
Vediamo che lambda(λ) è uno scalare, a è un vettore, quindi λa è uguale al vettore b
solo se il modulo di b è pari a |λa|,
il lambda può anche essere tolto e sarà λ |a| vettore.
Un esempio grafico è il seguente:
se abbiamo un vettore a, possiamo avere che a per 2 non sarà altro che
due volte il valore a.
Invece a per -2 avrà sempre lo stesso modulo ma verso opposto
perché il segno meno avrà modificato il verso del vettore.
Anche due vettori possono essere composti,
abbiamo visto come si sommano e come si sottraggono
ma avremo bisogno anche di moltiplicare i vettori.
Esistono due tipi diversi di moltiplicazione tra vettori:
- prodotto scalare il cui risultato è uno scalare
- prodotto vettoriale il cui risultato è un vettore
Il prodotto scalare di due vettori
(possiamo notare che c'è un puntino indicante il prodotto scalare),
"A scalare B", è uguale al risultato scalare
tra il modulo di A moltiplicato per il modulo di B per il coseno dell'angolo tra i due.
Se abbiamo il vettore A e il vettore B e tra i due vi è l'angolo θ
quello evidenziato corrisponde al valore del prodotto scalare.
Un altro modo per pensare il prodotto scalare è
il prodotto tra il modulo di un vettore (consideriamo ad esempio B)
moltiplicato per la proiezione dell'altro vettore sul vettore stesso.
Avremo il modulo di B moltiplicato per la proiezione di A su B
ovvero B per A cos(θ).
Questo vale anche alla rovescia: il modulo di A per la proiezione del modulo di Bcos(θ).