Nel secondo paragrafo di questa prima lezione
farò un breve cenno sui sistemi di coordinate.
Come dicevo precedentemente la misura è fondamentale
per descrivere quantitativamente un oggetto,
ad esempio la sua lunghezza o il suo peso.
Non basta semplicemente descrivere un oggetto
ma serve descrivere lo spazio, quindi caratterizzare e associare
a una posizione dell'oggetto nello spazio dei numeri
in maniera tale da poter o comunicare questa informazione
o utilizzare l'analisi matematica su di essa.
Per descrivere uno stato fisico è spesso necessario
descrivere la posizione con un determinato sistema di coordinate.
Gli esempi che vi mostro sono in due dimensioni.
Nel caso della singola dimensione è ancora più semplice
perché avremo una freccia ordinata, un origine 0,
l'unica informazione che interessa sarà quanta x positiva o negativa
Dimensione
Spostamento luna
Nel caso delle due dimensioni avremo da descrivere
sia la posizione lungo x che lungo y.
Le coordinate cartesiane sono espresse con una coppia ordinata di numeri
coppia ordinata vuol dire che se cambiamo, invertiamo il valore di numeri (x, y)
il punto che si sta descrivendo è diverso.
Ciascun punto nel piano delle coordinate cartesiane è descritto
univocamente da una singola coppia di numeri, 5 e 3 ad esempio:
individuiamo il punto 5 sull'asse x
il punto 3 sull'asse y
basta riportare le coordinate e ritroveremo
il punto esatto nelle coordinate cartesiane in due dimensioni.
Se invece abbiamo 4 e -5
avremo che il tratto evidenziato corrisponde a 4, dopodiché -5 perché sull'asse negativo delle y
È l'origine
Coordinate 00
La potremmo arrivare anche meno 5
A questo punto in maniera univoca
Se volete considerare meno 4 oppure no scusatemi
il punto opposto -5 e 4
Quindi per ricordarvi che punto sono numeri diversi Dove trovare meno 5 sulla fiction
Qui ad esempio qui
Il punto 4 è qui
e avremo questo nuovo punto -5, 4
Quindi ogni volta che avete delle coordinate cartesiane ricordate che
non è solamente importante la coppia di numeri ma
è molto importante anche l'ordine con cui vengono posti questi numeri,
altrimenti non sarebbe univoca la posizione che state considerando
e non potreste descrivere in maniera corretta il sistema che vi interessa.
A seconda delle simmetrie che il vostro sistema possa avere
non è detto che il sistema di coordinate più facile,
ovvero quello con le coordinate cartesiane, sia il migliore
ma potresti avere bisogno di un sistema di coordinate diverso
in questo caso vengono chiamate coordinate polari.
Le coordinate polari non sono più una coppia ordinata di numeri
o meglio di proiezioni lungo x e lungo y,
ma avremo che sono una coppia ordinata di una lunghezza e un angolo
(dipende dall'angolo, quindi potremo indicarlo sia in radianti che in gradi).
Come viene identificato un punto
sapendo una lunghezza e un angolo?
Considerate sempre l'asse x
e il raggio che connette l'origine con il punto P che ci interessa.
Questo raggio avrà una sua lunghezza
e questa lunghezza r sarà esattamente il primo numero
che dovete mettere in questa coppia ordinata
Questo numero qui
Verrà riportato
l'angolo che va dall'asse x al raggio passante per l'origine e il punto che ci interessa.
Anche in questo caso è univoco perché ad esempio tutti i punti
con lo stesso r e un unico peta,
formeranno una circonferenza
E così tutti i punti che hanno un unico peta
saranno posti su questa retta
che passa per il punto e l'origine.
Date queste due coordinate ci bastano due coordinate
per descrivere completamente il piano, le coordinate polari.
Se avete delle coordinate in un sistema di più coordinate
vi interessa poter passare da un sistema di coordinate all'altro
perché potrebbe capitare questo tipo di problemi.
Se avete delle coordinate x, y che abbiamo visto precedentemente
e che descrivevano questo punto qui,
potete calcolarvi quanto vale r cos(θ)
quanto vale nelle coordinate polari.
Se avete r, esso moltiplicato per il coseno di quest'angolo
il coseno di quest'angolo non sarà altro che questo valore qui
E questo qui
Quest'anno non sarà altro
Queste dimensioni
sarà esattamente la proiezione lungo x.
Invece r per il seno di questo angolo che avete qui
Su questa dimensione qui
sarà esattamente la proiezione lungo y.
Se avete r e teta (θ)
potete, tramite queste forme, passare alle coordinate x, y.
Come fate alla rovescia, ovvero se avete x, y
come fate ad ottenere θ e r?
Questo si può fare semplicemente considerando che
se fate il rapporto y/x avremo
r sen(θ)/r cos(θ), r si semplifica e avremo che
seno su coseno è esattamente la tangente di theta (θ).
Avremo che la tangente di theta (θ) è y/x,
esso sarà il valore della tangente dell'angolo che vi interessa
Arcotangente di
Invece se volete avere la lunghezza di r
bisogna applicare il teorema di Pitagora e sommare
la componente al quadrato lungo x e la componente al quadrato lungo y
fare la radice quadrata e otterrete r.
Non tutti i sistemi possono essere descritti in due dimensioni,
spesso bisogna descrivere i sistemi in tre dimensioni.
Essi possono essere delle generalizzazioni dei sistemi in due,
un modo semplice per generalizzare un sistema di due dimensioni in tre
è aggiungere un'altra coordinata simile a x e y lungo l'asse z
e invece di avere una coppia ordinata avete tre numeri ordinati (x, y, z).
La stessa cosa può essere fatta con le coordinate polari
avrete r, θ e z,
e vengono chiamate coordinate cilindriche.
C'è anche una coordinata tipo sferico
dove avrete r, θ e phi(φ) che è un ulteriore angolo rispetto a z.
La scelta delle coordinate è importante
a seconda delle simmetrie del sistema che andremo ad analizzare:
ad esempio se avete una simmetria lungo un piano o lineare
la cosa migliore sarà utilizzare le coordinate cartesiane.
Se avete una simmetria circolare e bisogna muoversi ad esempio su un disco
sarà più comodo utilizzare le coordinate polari.
Si potrà variare tra l'una e l'altra
conoscendo le correlazioni tra le varie coordinate.