In questa lezione parleremo della rappresentazione dei poliedri.
Nello specifico possiamo definire piramidi e prismi come due poliedri platonici.
I poliedri e le superfici poliedriche:
si definiscono superfici poliedriche
tutte quelle superfici composte da poligoni piani detti facce.
Per esempio la sfera in figura
è formata da superfici piane composte
dove tutte le piccole facce costituite da dei triangoli
rappresentano le facce del poliedro.
Le superfici poliedriche sono spesso utilizzate
per rappresentare delle forme continue,
dove ogni forma può essere rappresentata
per approssimazione da una superficie poliedrica.
Tutti i tipi di poliedri vengono chiamati "poliedri platonici".
Daremo una definizione di "poliedro" affermando che
si definisce poliedro un solido limitato da poligoni piani,
chiamati facce del poliedro,
mentre i lati ed i vertici dei poligoni
si dicono rispettivamente lati (o spigoli) e vertici del poliedro.
Come possiamo vedere in figura, ogni spigolo (A, B, C e V)
appartiene a due facce del poliedro,
mentre ogni vertice appartiene ad almeno tre facce.
Gli angoli solidi formati dalle facce del poliedro
si dicono angoli del poliedro.
Un'ulteriore classificazione dei poliedri è quella dei poliedri regolari.
Si definiscono poliedri regolari i poliedri convessi
le cui facce sono dei poligoni regolari uguali
(possono essere a tre, quattro o cinque lati).
Gli angoli dei poliedri regolari che costituiscono questa figura tridimensionale
devono essere sempre tutti uguali tra loro.
Tutti i vertici, gli spigoli e le facce devono essere equivalenti
ed in ogni singolo solido devono essere dello stesso tipo.
Queste sono condizioni fondamentali per la definizione dei poliedri regolari.
Ripetendo i poliedri regolari devono avere:
1. Tutti gli angoli uguali tra loro;
2. Tutte le facce uguali tra loro;
3. Devono essere uguali a tre, quattro o a cinque lati.
La somma degli angoli dei poligoni che concorrono in un vertice
deve essere minore di 2.
Tutti i poliedri regolari possono essere inscritti in una sfera
e ammettono assi di simmetria che si ottengono congiungendo
i vertici, i centri delle facce e i punti di mezzo degli spigoli.
Come abbiamo già detto, i poliedri vengono chiamati anche "solidi platonici".
Nello specifico i soldi platonici sono 5:
il tetraedro, l'esaedro, l'ottaedro, il dodecaedro e l'icosaedro.
Il tetraedro non è altro che una figura costituita da 4 triangoli regolari;
l'esaedro è costituito da 6 quadrati; l'ottaedro da 8 triangoli equilateri;
il dodecaedro da 12 pentagoni regolari;
l'icosaedro infine è costituito da 20 triangoli equilateri.
La maggior parte di questi cinque solidi
sono costituiti da triangoli regolari, triangoli equilateri e pentagoni regolari
che hanno tutti gli angoli uguali.
Tutti i poliedri regolari sono inscrivibili in una circonferenza
e per tutti vale il principio di dualità.
Quando andremo a rappresentare ciascun poliedro,
vedremo che saranno sempre inscritti all'interno di una circonferenza
e questo ci garantisce una maggiore rapidità di rappresentazione di ciascuna immagine.
I piani tangenti alla sfera
in ciascun vertice del poliedro iscritto
generano a loro volta un altro poliedro circoscritto alla stessa sfera
(naturalmente vale anche la proprietà inversa).
Vediamo praticamente come sono rappresentati e cosa sono i poliedri.
Il tetraedro è un poliedro regolare
costituito dall'unione di quattro triangoli equilateri nei diversi vertici.
Nel caso del tetraedro, considerando il suo sviluppo sul piano rispetto ad una posizione V (il vertice),
noteremo che tutte e quattro le facce, ruotando attorno ad esso,
sono uguali tra loro.
Gli spigoli del tetraedro duale
(che intercettano delle figure uguali tra loro)
si ottengono congiungendo gli ortocentri dei triangoli (in figura)
che compongono il poliedro.
Per quanto riguarda l'esaedro (null'altro se non il cubo)
esso si costruisce automaticamente in ambito digitale
poiché considerata una figura primitiva.
L'utilizzo del modello digitale ci consente di verificare alcune proprietà dell'esaedro;
esso è costituito da 6 quadrati (facce)
le cui diagonali si ottengono dagli spigoli
congiungendo tra loro i vertici opposti di ogni lato (in figura).
Unendo i centri delle facce
si ottengono invece gli spigoli dell'ottaedro duale
(la figura rappresentata all'interno dell'esaedro).
L'ottaedro è un poliedro composto da 8 triangoli equilateri (come nell'immagine evidenziata).
Lo si può costruire considerando lo sviluppo di metà solido sul piano.
Per praticità di rappresentazione, dato che tutte le immagini sono duali,
è possibile rappresentare la metà di una sua parte
mentre l'altra, essendo speculare, viene specchiata e rappresentata più facilmente.
Il dodecaedro è un poliedro costituito da 12 pentagoni regolari.
Per semplificare la costruzione del modello
si costruisce lo sviluppo di metà solido
costituito da sei pentagoni
e si determina la posizione delle singole facce
facendo ruotare due facce contigue intorno ai lati contigui del pentagono.
Volendolo vedere in pianta
è possibile individuare un punto centrale (vertice) di incontro delle facce del pentagono.
L'icosaedro è un poliedro regolare composto da 20 triangoli equilateri.
Anche in questo caso, per costruire il modello, è possibile sviluppare la parte superiore
(indicata in figura) costituita da cinque triangoli equilateri
costruiti sui lati di un pentagono equilatero.
La posizione delle facce può essere determinata
facendo ruotare la figura intorno al suo asse di rotazione.
Esiste un'operazione di rappresentazione geometrica dei poliedri platonici
rispetto ai piani di riferimento
(piano laterale, piano orizzontale e piano verticale).
Le rappresentazioni geometriche ci consentono di capire sia il modo in cui sono costruiti i poliedri,
sia le loro proiezioni assunte nello spazio
rispetto al piano orizzontale, verticale o laterale.
In figura sono presentati degli esempi
di rappresentazione geometrica del tetraedro
attraverso la visione assonometrica e bidimensionale
per capire come il poliedro è realizzato in pianta, in prospetto e lateralmente.
Per lo sviluppo del tetraedro tramite la visione bidimensionale
si riesce a capire chiaramente come esso è composto,
ovvero dai quattro triangoli equilateri evidenziati in figura.
La stessa operazione può essere fatta
anche per l'ottaedro ed il dodecaedro.
Per l'ottaedro la parte cerchiata è la sua dimensione tridimensionale,
la seconda è la sua dimensione bidimensionale
che mostra da quanti triangoli equilateri è composto,
mentre l'ultima è lo sviluppo sul piano bidimensionale dove vengono effettuate tutte le operazioni
di rappresentazione bidimensionale dell'oggetto
per capire nello specifico come si compongono tutte le sue parti.
Quest'operazione può essere fatta anche per la realizzazione della vista assonometrica del cubo,
costituito da sei facce composte da quadrati e,
attraverso delle opportune indicazioni, posso vedere
rispetto al piano bidimensionale e tridimensionale come si comporta e come è realizzato.