Con il metodo delle proiezioni ortogonali e quindi del metodo di Monge
abbiamo la possibilità di rappresentare diverse entità geometriche dello spazio
che possono essere un punto, una retta, un solido,
un diedro, un triedro come vedremo in questa lezione.
La prima rappresentazione di ente geometrico fondamentale
è quella del punto.
Se vogliamo definire nello spazio un sistema di riferimento
costituito dai due piani di proiezione (selezionati in figura),
per determinare la proiezione ortogonale di un punto P
posto nel primo diedro,
si tracciano per il punto P le rette perpendicolari ai due piani di proiezione,
ovvero la retta PP1
(che identifica la proiezione sul piano C''∞ del punto P in P1)
e sull'altro piano di riferimento C'∞
il punto P che avrà proiezione identificata nel punto P2.
Quando diciamo è il riferimento del parto
Se vogliamo fare un riferimento all'ente geometrico in questione
in maniera bidimensionale (ovvero rappresentato sul piano),
vedremo che il diedro nel caso raffigurato è stato diviso in 4 parti
dove abbiamo i tre piani, orizzontale, verticale e laterale
e vedremo che la proiezione del punto P' sarà P''
e la distanza tra P'' e l'origine degli assi identifica
la distanza tra la linea di terra e il punto di proiezione
Per quanto riguarda la rappresentaizione del punto
la prima proiezione P1 di P sul piano π1 non è altro che
il piede della perpendicolare passante per P al piano orizzontale
ovvero il suo punto di intersezione con il piano.
Dunque in figura il segmento evidenziato rappresenta
la proiezione del punto P sul piano,
ovvero la perpendicolare passante per P
che identifica come il punto viene intersecato sul piano.
La seconda proiezione, in questo caso P2,
corrisponde alla proiezione del punto P sul piano π2
ed è il piede della perpendicolare passante per P al piano verticale
(il segmento evidenziato)
e viene definita come il punto di intersezione con il piano π2.
Anche in questo caso abbiamo il riferimento dello spazio
e nel piano bidimensionale dove la retta evidenziata
viene chiamata retta di richiamo.
Come rappresentazione di enti geometrici
possiamo anche riferirci alla retta.
Data una retta r si individuano le sue tracce sui piani π1 e π2,
rispettivamente sono chiamate tr1 e tr2.
Le rette selezionate rappresentano la proiezione del punto della retta
sui piani π2 e π1.
Per determinare le proiezioni di una retta R
è necessario individuarne le proiezioni delle tracce dei punti tr1 e tr2.
Poiché il punto tr1 giace sul piano π1
succede che la prima proiezione coincide con il punto stesso
e la sua proiezione rispetto al piano π2
avviene attraverso la linea di giacitura tra i due piani (evidenziata)
che viene chiamata linea di terra.
Quando si rappresenta un oggetto nello spazio,
in questo caso parliamo della retta,
ci sono una serie di definizioni importanti da ricordare
e che sono considerate quasi degli assiomi
della rappresentazione del metodo di Monge.
Alcune tra esse sono:
1) rette parallele al primo piano di proiezione sono dette orizzontali
e sono rappresentate in prima proiezione da una retta inclinata
e in seconda proiezione da una retta parallela alla linea di terra;
2) rette parallele al secondo piano di proiezione sono dette frontali
e sono rappresentate in prima proiezione da una retta parallela alla linea di terra,
e in seconda proiezione da una retta comunque inclinata.
Se immaginiamo di rappresentare un oggetto nello spazio
bisogna fare riferimento sempre al diedro tridimensionale
costituito dai tre piani, orizzontale, verticale e laterale.
L'oggetto assume una posizione nello spazio che può essere
inclinata o parallela rispetto ai piani di riferimento,
le sue proiezioni su tali piani possono essere
sia rette parallele al primo piano di proiezione
sia rette parallele al secondo piano di proiezione.
Abbiamo, nel primo caso, delle rette parallele al primo piano di proiezione
e sono definite orizzontali,
invece nel secondo caso le rette parallele al secondo piano di proiezione
sono definite frontali.
Le proiezioni di un piano α si ottengono, così come avviene con la retta,
mediante l'individuazione delle sue tracce
(come possiamo vedere nell'immagine, le tracce che
identificano le proiezioni della retta sono quelle evidenziate).
Esse sono importanti perché ci consentono di capire
in quale punto, rispetto al piano orizzontale e al piano verticale,
avviene la proiezione del punto, della retta e di qualsiasi immagine di riferimento
che vogliamo rappresentare in maniera tridimensionale.
Le tracce sono importanti perché,
quando si passa dal piano tridimensionale al piano bidimensionale,
permettono di conoscere quale sarà la distanza tra
tra il punto e la linea di terra ovvero l'origine.
Si riproducono le quote dell'oggetto, del punto o della retta che si sta rappresentando.
L'intersezione con il piano di riferimento π è indicata con la retta T1α
che corrisponde al punto di intersezione tra i due piani con la linea di terra.
Analogamente succede per la seconda traccia di α indicata con il punto T2α
(nell'immagine viene evidenziato).
Prendendo in esame la seconda immagine
notiamo che si rappresenta una retta
rispetto ai due piani di riferimento, α' e α'',
che ha un'inclinazione rispetto ai due piani
per cui non è né ortogonale né parallela.
Il punto di proiezione della retta giace
sulla linea di intersezione tra i due piani, chiamata linea di terra.
Nella sua rappresentazione bidimensionale possiamo vedere
l'inclinazione della retta, il punto di intersezione con la linea di terra
e la sua proiezione sul piano che corrisponde alla retta T2α.
Esistono delle posizioni particolari che si possono definire
per rappresentare un piano nello spazio e la sua proiezione nel piano bidimensionale.
Rispetto ai piani di proiezione π1 e π2 si ha:
- il piano perpendicolare a π1 e π2 è detto piano di profilo
e le due proiezioni sono perpendicolari alla linea di terra;
- quando il piano è parallelo alla linea di terra,
le due proiezioni sono anch'esse parallele alla linea di terra;
- quando il piano è parallelo a π1
avremo la proiezione dell'oggetto sul piano orizzontale;
- quando il piano è parallelo a π2
le proiezioni dell'oggetto avverranno sul piano frontale, quindi sul piano laterale.
Nell'immagine che segue si illustra questo concetto:
volendo rappresentare, in maniera tridimensionale, il piano selezionato
rispetto ai due piani di riferimento, π1 e π2,
notiamo che la linea di terra identifica il punto di intersezione
ovvero l'origine dell'immagine che deve essere proiettata nello spazio,
mentre quello evidenziato rappresenta la sua proiezione rispetto al piano laterale.
Per quanto riguarda la sua rappresentazione bidimensionale invece
vedremo che se volessimo riportare l'immagine sul piano laterale
insieme alla sua proiezione,
la proiezione della linea rossa corrisponderà alla retta rossa sul piano bidimensionale
che identifica tutti i punti T2d, T2t e T3d.
L'unione di questi punti rappresenta la proiezione dell'oggetto
dal tridimensionale al bidimensionale.
Nella seconda figura possiamo notare un piano
inclinato rispetto ai piani π1 e π2.
La sua proiezione sul piano π2,
riprodotto in bidimensionale
non è altro che la riproduzione delle rette t'α e t''α rispetto ai due piani di riferimento.
Oltre al punto e alla retta, è interessante osservare la proiezione degli oggetti,
quindi di una figura piana o tridimensionale.
Per quanto riguarda la figura piana
prendendo come riferimento i due piani di proiezione π1 e π2,
si desidera rappresentare la figura rispetto al piano laterale e orizzontale.
L'oggetto è da proiettare sia in maniera parallela al piano orizzontale
sia perpendicolare rispetto al piano laterale.
La prima proiezione viene chiamata orizzontale
e coincide con la figura stessa.
Dunque guardando l'oggetto rispetto al piano orizzontale
e osservandolo dall'alto si avrà la percezione di guardare la base del cilindro
(la sua proiezione non è altro che la base vista dall'alto).
La seconda proiezione sul piano laterale
osservata da una posizione frontale all'oggetto,
sarà la retta evidenziata.