L'omologia è la corrispondenza logica tra due cose
per cui tutto quello che accade, ad esempio per una retta r
accadrà per la sua proiezione r'.
Tutte le deformazioni che la retta r subirà
saranno subite allo stesso modo dalla retta r', con la stessa logica.
Omologo è il sinonimo di analogo,
pur significando non solo una somiglianza ma un'identità,
è una proiezione precisa di tutto ciò che avviene per la retta r sulla retta r'.
In geometria descrittiva l'omologia è
una trasformazione ottenuta come composizione nello spazio,
è qualcosa che avviene nello spazio tridimensionale.
In altri termini c'è una corrispondenza biunivoca
originata da due proiezioni di un piano su un altro.
Il concetto di omologia è riferito, ad esempio, a una retta r proiettata su un piano
dove la proiezione del punto P sarà P'.
Allo stesso modo se abbiamo una retta,
con le stesse caratteristiche della retta r,
le sue proiezioni sul piano saranno uguali a quelle della retta r'.
La proiettività è intesa
come una corrispondenza biunivoca tra i punti di uno spazio proiettivo.
Già abbiamo (evidenziato in figura) una corrispondenza perfetta,
proiettiva in questo caso, tra i punti x e x1,
o tra la retta r e la retta r1.
Tutto ciò che accade per la retta r, quindi tutte le sue proiezioni (A, B, C)
saranno le stesse per la retta r1 (A = A1, B = B1, C = C1).
Due forme fondamentali sono proiettive
quando si deducono l'una dall'altra mediante
un numero finito di operazioni di proiezione
rispetto ad un centro di sezione con un piano.
La prospettiva è una particolare proiezione,
infatti due forme si dicono prospettive
quando si deducono l'una dall'altra mediante due sole operazioni:
sezione e proiezione.
In particolare se vogliamo analizzare due fasce di rette
esse si diranno prospettive quando
le rette corrispondenti si intersecano su una retta
detta asse di prospettività.
Analogamente due rette punteggiate sono prospettive quando
i punti corrispondenti sono allineati con un punto O
detto centro della prospettività.
In questa caso il punto O è detto centro della prospettività.
Nella prima figura effettuiamo una proiezione dei punti A, B, C
rispetto al punto O, la cui proiezione a sua volta è individuata nel punto O1.
Lo stesso, abbiamo detto, avviene per due fasci di rette
come stabilito in questa particolare definizione di prospettività.
E' importante definire la prospettività tra piani ed omologia.
Possiamo osservare in figura due piani
che si intersecheranno tramite questa retta
(come spiegato nelle slide precedenti),
in una prospettività tra piani valgono le seguenti proprietà,
nello specifico sono due e sono fondamentali da ricordare:
1) i punti corrispondenti sono allineati con il centro della prospettività;
(nella prima figura il centro corrisponde al punto O,
mentre nella seconda figura corrisponde al punto O1);
2) le rette corrispondenti si intersecano sull'asse s di prospettività.
L'identificazione dell'asse s è utile per capire
in quale punto specifico del piano essi si intersecano.
Dobbiamo dare un'altra importante definizione, ovvero quella l'omologia piana
considerata il prodotto di due prospettività.
L'omologia piana è sempre riferita all'incrocio di due piani,
tale incrocio avverrà sempre attraverso l'identificazione della retta s
e avverrà quando proiettando una figura T appartenente ad un piano
da due centri di prospettività distinti si avrà che T e T1 saranno omologhi.
In un'omologia valgono le seguenti proprietà:
1) rette corrispondenti si intersecano sulla retta s;
2) punti corrispondenti sono allineati con il centro S
(il punto T e la sua proiezione T1 sono allineati con il punto S).
Definiamo il concetto di omografia tra due piani.
Due piani sono proiettivi
quando possono essere dedotti l'uno dall'altro
mediante un numero finito di operazioni di proiezione e sezione.
Questa (in evidenza) è la retta che identifica l'intersezione del piano α e α1,
mentre questa (sempre in evidenza) è la retta di intersezione tra il piano α1 e α2.
La corrispondenza biunivoca che lega due piani proiettivi
è detta anche omografia.
Un'omografia non identica tra due piani sovrapposti ma non coincidenti
è detta omologia piana quando esiste una retta di punti uniti ed un fascio di rette unite
(ad esempio nel secondo caso tra il piano α1 e α2).
In un'omologia piana la retta s,
intersezione dei piani α, π e π1,
viene chiamata asse di omologia ed è una retta fatta tutta di punti uniti,
mentre il centro S si determina come intersezione
della congiungente i due centri di prospettività (T, T1).
Si dimostra che S è un punto unico
ed è il centro di un fascio di rette unite.
Si dimostra che in un'omologia piana sussistono le seguenti relazioni:
1) rette corrispondenti si intersecano sull'asse
(nel nostro caso O è il punto di proiezione e le due rette evidenziate
si vanno ad intersecare con il primo piano e con il secondo piano).
2) I punti corrispondenti sono allineati con il centro
(nel nostro caso avremo la proiezione dal punto O1 sui due piani
che genererà rispettivamente il punto P1 e il punto O.
Per quanto riguarda il concetto di omologia speciale,
si definisce generale quando sia l'asse che il centro sono propri
(in questo caso quella evidenziata è la retta s
e i punti A, B, C rappresentano l'immagine che si vuoe proiettare,
e le sue proiezioni saranno sulla retta A1, B1, C1).
Esiste un ulteriore concetto di omologia speciale
sempre riferita all'intersezione tra piani.
L'omologia speciale si ha:
1) quando il centro si trova sull'asse (il punto S);
2) c'è un'affinità quando il centro è un punto improprio
(ad esempio il punto O1, esterno al piano e proiezione del punto O);
3) un'omotetia quando l'asse è una retta impropria
(ad esempio la retta O-O1 che si trova esternamente ai due piani);
4) una congruenza o traslazione quando sia il centro che l'asse sono impropri
e che si trovano esterni ai due piani.
Un altro concetto importante è quello di affinità.
In un'omologia affine il centro è improprio e l'asse è una retta propria
la quale si trova tra l'intersezione dei due piani.
Ciò si verifica quando la congiungente di due centri di prospettività
è parallela ai due piani omografici sovrapposti
oppure quando i due centri di prospettività sono entrambi impropri, ovvero esterni ai due piani.
Il concetto di omotetia si ha quando
abbiamo di fronte due piani paralleli tra loro e quindi non c'è un punto di intersezione tra essi.
Si ha un'omotetia quando il centro è un punto proprio (esterno ai due piani)
e l'asse è improprio (l'asse O-O1).
Ciò si verifica quando il piano alfa (α)
ha la stessa giacitura dei due piani sovrapposti π e π1.
(perché essendo sovrapposti non riusciamo a percepirli entrambi).
L'omotetia si definisce diretta quando il centro si trova
esternamente ai due piani corrispondenti (il punto S),
mentre l'omotetia è inversa quando il centro si trova tra i due punti corrispondenti
(nello specifico sono il piano ABC e il piano A1 B1 C1
dove A1, B1, C1 rappresentano le proiezioni del piano ABC).
Introduciamo il concetto di traslazione.
Quando si ha una congruenza o una traslazione
sia il centro che l'asse sono esterni ai due piani e quindi impropri,
ciò si verifica quando il piano π e la congiungente dei due centri (O-O1)
è parallela ai due piani ( α e π).
In questo caso le figure omologhe,
avendo i lati e gli angoli corrispondenti uguali, sono uguali
quindi i due piani sono uguali, le figure proiettate sul piano π saranno uguali
(osservare la prima figura) e saranno le stesse dell'unica figura proiettata sul piano α.
Osserviamo cosa vuol dire rette limiti.
Si definiscono rette limiti in un'omologia piana,
le rette corrispondenti della retta impropria comune ai due piani.
L e rette limiti sono parallele all'asse dell'omologia.
Ogni punto di una delle due rette limiti ha come omologo un punto improprio.
(il punto O in entrambe le figure).